Подпространство. Сумма и пересечение подпространств

Date: 2015-10-07; view: 432.

Подмножество L векторного пространства Х над полем Р называют векторным подпространством этого пространства, если оно является линейным пространством относительно введенных, если оно само является линейным пространством относительно введенных в X операции сложения векторов и умножения векторов на числа из поля Р.

Для того чтобы подмножество L линейного пространства X было его линейным подпространством, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) для любых векторов a и b из L их сумма a+b также принадлежит L;

2) для любого вектора а из L и любого числа αÎР вектор αа принадлежит L.

Теорема 11.1 Векторное подпространство конечномерного векторного пространства является конечномерным, и размерность подпространства не превышает размерности всего векторного пространство.

Теорема 11.2Пусть L – подпространство n-мерного векторного пространства Х. Любой базис а₁, а₂, … ,а _k в L можно дополнить до базиса а₁, а₂, … ,а _k, а _k+1, … ,а _n всего векторного пространства X, причем векторному пространству L принадлежат те и только те векторы, которые в указанном базисе имеет столбцы координат вида

Д-во:

Действительно любой базис в L, как и вообще любую линейно независимую систему векторов в X.

Если вектор x имеет столбец координат, то

и принадлежит L линейная комбинация векторов из L.

Если вектор x принадлежит L, то он может быть разложен по базису а₁, а₂, … ,а _k :

Это разложение в то же время является разложением вектора х в базисе а₁, а₂, … ,а _k векторного пространства X, дающим столбец координат вида Теорема доказана.

Теорема 11.3Пусть Х – конечно мерное линейное пространство и в нем задан базис e. Тогда для любого линейного подпространства L в Х можно указать такую однородную систему линейных уравнений

Ax = 0, что множество координатных столбцов всех векторов из L в базисе e будет совпадать с множеством всех решений системы

Ax = 0.

Пусть в векторном пространстве Х даны подпространства L₁и L₂. Множество L₁ÇL₂ векторов, принадлежащих как L₁, так и L₂, является подпространством Х. Его называют пересечением подпространством L₁и L₂.

Множество всех векторов х вида х = a+b, где aÎ L₁, bÎ L₂ называют суммой подпространств L₁и L₂ и обозначают L₁+L₂.