Теорема о размерности суммы и пересечения подпространств

Date: 2015-10-07; view: 499.

Теорема 12.1В конечномерном векторным пространстве Х размерность суммы L₁+L₂ равна сумме размерностей этих подпространств минус размерность их пересечения, т.е.

dim(L₁+L₂) = dimL₁ + dimL₂ - dim(L₁ÇL₂).

Д-во:

В подпространстве L₁ÇL₂ выберем какой-либо базис эта система векторов линейно независима. Дополним ее до базиса в L₁ системой векторов и до базиса в L₂ системой векторов

Объединяем систему = и докажем, что она является базисом в L₁+L₂

Через систему векторов линейно выражается любой вектор zÎ L₁+L₂. Действительно, для вектора z имеет z=х+у, где xÎ L₁, уÎ L₂. Вектор х линейно выражается через систему , а вектор у – через систему . Поэтому z линейно выражается через систему _.

Докажем, что система векторов линейно независима_.

(1)

Объединим слагаемые, относящиеся к векторам системе и :

Вектор а принадлежит L₁. Но из равенства (1) следует, что

и вектор а принадлежит L₂. Значит, аÎ L₁ÇL₂. Вектор а линейно выражается через систему e, т.е.

.

Можно рассматривать как разложение вектора аÎ L₁ по базису .

В разложения по базису заключаем, что оба разложение совпадают, т.е. ,

С полученных равенство (1) примет вид

Поскольку система векторов линейно независима, это равенство возможно лишь нулевых значениях всех коэффициентов:

Доказано, система линейно независима и является базисом в подпространстве L₁+L₂.

, , , то

= = = . Теорема доказана.