Критерий совместимости системы линейных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 455.

Прямое дополнение подпространств

Прямая сумма подпространств

Множество всех векторов х вида х = a+b, где aÎ L₁, bÎ L₂ называют суммой подпространств L₁и L₂ и обозначают L₁+L₂. Если при этом пересечение L₁ÇL₂ - нулевое подпространство, то сумму L₁+L₂ называют прямой суммой и обозначают через L₁ÅL₂.

Если сумма L₁+L₂ подпространств L₁и L₂ в Х является прямой, то представление любого вектора х в виде х=a+b, где aÎ L₁, bÎ L₂ единственно. В частном случае, когда X = L₁ÅL₂, также каждый вектор х имеет единственное представление х=a+b, где aÎ L₁, bÎ L₂. Подпространства L₁и L₂ называют прямыми дополнениями друг друга, а слагаемое aÎ L₁ – проекцией вектора х на подпространство L₁ паралельно подпространству L₂.

Пусть дана система линейных уравнений

с матрицей

А=

и расширенной матрицей

B=

Система называется совместимойесли имеет хотя бы одно решение, а если у системы решений нет, то несовместимой (противоречивой).

Теорема 15.1(теорема Кронекера-Капелли)

Система линейных уравнений

совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А системы равен рангу ее расширенной матрицы B.

Д-во:

Пусть система совместна. докажем, что rang(A) = rang(B).

Для этого возьмем какое-либо решение k₁, k₂, … ,k _n и подставим его в каждое уравнение системы.

Тогда

(1)

Эту систему перепишем в виде

Следовательно, при вычислении ранга матрицы В этот столбец в соответствии со свойством 6 ранга матрицы можно из матрицы B удалить. Это означает, что rang(A) = rang(B).

Пусть rang(A) = rang(B). Докажем, что система совместима. Равенство rang(A) = rang(B) означает, что базис системы столбцов матрицы А является и базисом системы столбцов матрицы В, т.е. существует набор таких чисел k₁, k₂, … ,k _n, что выполняется равенство (1). Это означает, что является решением рассматриваемой системы. Система совместна.

Теорема 15.2 Совместная система линейных уравнений эквивалентна любой своей базисной подсистеме.