Системы линейных однородных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 435.

Однородной системой линейных уравнении называют систему

у которой все свободные члены уравнений равны нулю.

Теорема 16.1Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы совпадал с количеством неизвестных системы.

Однородная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы меньше числа неизвестных.

Теорема 16.2Если ранг матрицы А однородной системы Aх=0 меньше числа неизвестных, т.е. rang(A) = r < n, то размерность линейного пространства решений этой системы равна n – r.

Д-во:

Если ранг rang(A) = r < n, то из n неизвестных r являются главными, а n – r – свободными. В качестве свободных выбраны неизвестные . Возьмем произвольный ненулевой определитель d порядка n – r:

d=

В результате n – r решений однородной системы Aх=0 получим:

из столбцов ставим матрицу

M= . Следовательно, все столбцы матрицы, линейно независимы.

Покажем, что любое решение системы Aх=0 линейно выражается через решения .

Рассмотрим столбцы

столбец =

Пусть

Рассмотрим n-мерный вектор y = =0

у имеют нулевые значения. Тогда т.е. произвольно взятое решение х системы Aх=0 линейно выражается через решения .

Теорема 16.3 Пусть – фундаментальная система решений однородной системы Aх=0 тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде

, где – некоторые постоянные.