Связь между решениями однородной и неоднородной системы линейных уравнений

Date: 2015-10-07; view: 695.

Построение системы линейных однородных уравнений по подпространству

Теорема 18.1 Сумма любого решения неоднородной системы Ах=b и любого решения приведенной однородной системы Ax=0 является решением неоднородной системы Ax=b.

Д-во.

В силу равенств A =b и A =0 заключаем, что

A = A + A = b + 0 = b,

это означает, что столбец является решением неоднородной системы Ax=b.

Теорема 18.2 Разность любых двух решений и неоднородной системы Ах=b является решением ее приведенной системы Ax=0.

Д-во.

В силу равенств A =b и A =b заключаем, что

A = A - A = b - b = 0,

это означает, что столбец является решением однородной системы Ax=0.

Теорема 18.3 Общее уравнение неоднородной системы Ах=b можно представить формулой = , где – общее решение приведенной системы Ax=0, а – какое-либо частное решение неоднородной системы Ах=b.

Д-во.

В силу теоремы 18.1 любой вектор x, имеющий представление

= , является решением неоднородной системы Ах=b. Пусть x – произвольное решение системы Ах=b. Тогда по теореме 18.2вектору = х – х₀ и потому х содержится в множестве решений, определяемых формулой = .

Пример.

= (2,0,-1,0) системы

найти общее уравнение этой системы

Решение.

Решая эту систему, получаем общее решение в виде

= = +

теперь можем записать общее уравнение неоднородной системы

= = + +