Определение и простейшие св-ва линейных операторов

Date: 2015-10-07; view: 411.

Пусть даны линейные пространства X и Y над одним и тем же полем P. Говорят, что из пространства X в пространство Y действует оператор , если каждому вектору а из Х по какому-либо правилу ставится в соответствие определенный вектор а¹= (а) = а из Y. Вектор а¹ образом вектора а, вектор а – прообразом вектора а¹ при отображении .

Оператор действующий из из X в Y, называют линейным, если он сумму любых векторов a и b из Х переводит в сумму их образов а¹ и b¹, а произведение любого вектора а из Х на любое число a из P – в произведение образа а¹ вектора а на то же число a, т.е. если

= + = а¹ + b¹, = = а¹

Из определения линейного оператора вытекают следующие утверждения:

1) линейный оператор приводит линейную комбинацию векторов

из Х в линейную комбинацию образов этих векторов с теми же коэффициентами, т.е.

=

2) линейный оператор переводит нулевой вектор 0 из Х в нулевой вектор 0¹ из Y

Д-во:

3) линейный оператор переводит вектор –а, противоположеный вектору а, в вектор –а¹, противоположный вектору а¹= a

Д-во:

Теорема 19.1.Пусть линейный оператор действует из линейного пространства Х в линейное пространство Y и – базис в Х.

Тогда оператор определяется с заданием образов векторов базиса .