Изоморфизм линейного пространства

Date: 2015-10-07; view: 410.

Соответствующие действия над операторами и матрицами

Биективное отображение векторных

пространств X и Y над полем P называется изоморфизмом, если для любых векторов x,y ∈ X и любого числа ∈ P выполняются условия:

Отметим простейшие свойства изоморфизмов.

Свойство 1. Тождественное отображение , является изоморфизмом.

Свойство 2. Если – изоморфизм, то обратное отображение также изоморфизм.

Действительно, поскольку – биективное отображение, то существует обратное отображение . Пусть x,y ∈ X . Так как биективно, то существуют элементы v,u ∈ X , такие, что

, .

Следовательно,

, что и требовалось.

Свойство 3. Если и – изоморфизмы векторных

пространств, то – также изоморфизм.

Свойство 4. Для произвольного натурального n

=

Свойство 5. = 0 тогда и только тогда, когда x = 0.

Действительно, если x = 0, то .

Свойство 6. Если – линейно независимая система в X , то – линейно независимая система в Y , т.е. изоморфизм переводит линейно независимые системы в линейно независимые.

Свойство 7. Если – базис X , то – базис Y .

Теорема 5.1. Если векторные пространства V и W над полем имеют

одинаковую размерность, то они изоморфны.