Теорема Гамильтона-Келли

Date: 2015-10-07; view: 631.

Теорема 28.3.(теорема Гамильтона-Кэли)

Любая квадратная матрица является своего характерического многочлена.

Д-во.

Пусть А-квадратная матрица n-го порядка. Рассмотрим матрицу С к матрице . Матрицу С можно представить в виде

, где -некоторые числовые матрицы. По основному свойству присоединенной матрицы имеем:

Тогда

Раскрывая скобки в обеих частях равенства и присваивания коэффициенты при одинаковых , получим систему из n+1 равенства

Умножим первое равенство системы на Аⁿ, второе – на А^n-1 и т.д., n-е равенство – на А, (n+1)-е равенство – на А⁰=Е:

При сложении этих равенств в левой части получим нулевую матрицу, а в правой части – выражение

Поэтому ;