Ортогональные подпространства и их свойства.

Date: 2015-10-07; view: 601.

Пусть h–симметрическая или кососимметрич. билинейная ф-ция над полем K характеристики, не равной 2. Векторы x и y из V наз. ортогональными (отн h), если h(x,y) = 0; в этом случае пишут Ясно, что отношение ортогональности симметрично: В случае кососимметрич. ф-ии h каждый вектор ортогонален самому себе. Опр 5. Ортогональным дополнениемк подпр-ву U (отн. h) наз. подпространство В частности, Предл 1. Если функция h невырожденна, то Д о к -в о. Пусть {e₁,e₂,…,e_k} – базис пространства U. Тогда Записывая эти условия в координатах, мы получаем систему однородных линейных уравнений. Эти уравнения линейно независимы, так как для любых t₁,…,t_k, не равных нулю одновременно, линейная функция

Следовательно, По той же формуле

Опр 6. Подпр-во U наз. невырожденнымотн. ф-ции h, если ее ограничение на U невырожденно.

Пусть h – симметрич. билинейная ф-ция. Базис {e₁,…,e_n} –базис пр-ва V наз. ортогональным (отн. h),если его векторы попарно ортогональны. В ортогональном базисе матр. ф-ции h диагональна, а сама ф-ция h и соответствующая ей кв. ф-ция q запис. в виде Т 1. Для ∀ симметрической бил. ф-ции сущ. ортогональный базис. Док -во. Докажем это утвержд. индукцией по n=dimV. При n=1 доказывать нечего. Если h = 0, то доказывать опять-таки нечего. Т1. Для ∀ симметрич. билинейной ф-ции сущ. ортогональный базис. Док. Если h не равна 0, то в силу формулы h(x,y) = 1/2[q(x+y) – q(x) – q(y)] (5) q не равна 0, т.е. сущ. такой вектор e₁, что число h(e₁,e₁)=q(e₁) не равно нулю. Согл. предл. 2, Т 1. Для ∀ симметрич. билинейной ф-ции сущ. ортогон. базис. Док -во. По предполож. индукции сущ. ортогональный базис