Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

Date: 2015-10-07; view: 566.

Пусть {e₁,…,e_n} – базис пространства V и А – матрица функции h в этом базисе. Обозначим через А_kматрицу ограничения функции h на подпространство V_k= <e₁,…,e_k> в базисе {e₁,…,e_k} этого подпространства, т.е. левый верхний угол порядка k матрицы A. Число d_k= det А_kбудем называть угловым минором порядка k матрицы A. Положим также V₀= 0, d₀= 1. Теорема Если все угловые миноры d₁,…,d_nматрицы A отличны от нуля, то существует единственный ортогональный базис {f₁,…,f_n} пространства V, удовлетворяющий условиям При этом Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем теорему индукцией по n. При n=1 имеем При n>1 применим предположение индукции к базису {e₁,…,e_n-1} пространства V_n-1. Пусть {f₁,…,f_n-1} – ортогональный базис пр- ва V_n-1, удовл. усл. теоремы. Будем искать вектор f_nв виде

Остается проверить равенство (10) при k=n. Так как матрица перехода от базиса {e₁,…,e_n} к базису {f₁,…,f_n} явл. (верхней) унитреуг. (т.е. треуг. с единицами на диагонали), то ее определитель равен 1 и формула показывает, что определитель матрицы функции h не меняется при переходе к базису {f₁,…,f_n}. Однако в базисе {f₁,…,f_n} матрица функции h диагональна, причем ее диаг. элементы равны q(f₁), …, q(f_n-1), q(f_n). Следовательно, d_n= q(f₁)…q(f_n-1)q(f_n). Такое же рассуждение, примененное к ограничению функции h на подпр-во V_n-1показывает, что d_n-1= q(f₁)…q(f_n-1). Откуда следует, что Процесс построения ортогонального базиса, описанный в доказательстве теоремы, наз. процессом ортогонализации Грама-Шмидта. Пусть {e₁,…,e_n} – базис пространства V, ортогональный относительно функции h. За счет нормировки векторов e_iчисла a_i= q(e_i) можно умножать на квадраты любых ненулевых элементов поля K. Кроме того, переставляя базисные векторы, можно переставлять и эти числа. Однако, как видно из доказательства теоремы 1, в выборе ортогонального базиса имеется гораздо больший произвол. Пусть K = C. Тогда путем нормировки базисных векторов числа a_iмогут быть сделаны равными 1 или 0, и после подходящей перестановки базисных векторов ф-ция h приводится к так называемому нормальному виду: q(x) = x₁² + … + x_r².Число r явл. инвариантом, т. к. r = rk q. Пусть K = R. Тогда путем нормировки базисных векторов числа a_iмогут быть сделаны равными +1, –1 или 0, и после подходящей перестановки базисных векторов ф-ция h приводится к нормальному виду:q(x) = x₁² + … + x_k²– x_k+1² – … – x_k+l²(11) Сумма k + l = rk q является инвариантом, но являются ли инвариантами числа k и l по отдельности?