Положительно определённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
Date: 2015-10-07; view: 464.
Определение . Вещественная квадратичная функция h называется положительно определенной, если q(x) > 0 при x, не равном нулю. Вещественная симметрическая билинейная функция называется положительно определенной, если соответствующая ей квадратичная функция является положительно определенной.
Очевидно, что нормальный вид положительно определенной квадратичной функции есть q(x) = x12 + … + xn2.
Теорема 3. Число k в нормальном виде (11) произвольной вещественной квадратичной функции есть максимальная размерность пространства, на котором функция h положительно определена.
Аналогично, l есть максимальная размерность пространства, на котором функция h отрицательно определена.
Д о к - в о. Очевидно, что функция q положительно определена на k-мерном подпространстве <e1,…,ek>. Пусть теперь U – произвольное подпространство, на котором функция q положительно определена, и W=<ek+1,…,en>. 
Следствие (критерий Сильвестра). Вещественная квадратичная функция является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны.
Д о к - в о(=>). Если все угловые миноры положительны, то, в частности, они отличны от нуля, и применение метода Якоби доказывает, что функция является положительно определенной.
Д о к - в о(<=). Обратно, если функция положительно определена, то ее ограничение на подпространство Vk(в обозначениях теоремы 2) также положительно определено и, следовательно, невырожденно. Это означает, что все угловые миноры отличны от нуля. Применяя метод Якоби, получаем, что они положительны.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. | | | Закон инерции вещественных квадратичных форм |