Закон инерции вещественных квадратичных форм

Date: 2015-10-07; view: 441.

Число k в нормальном виде (11) q(x)= +…+ - -…- (сумма k+l=rk q является инвариантом) произвольной вещественной квадратичной функции есть максимальная размерность пространства, на котором функция h положительно определена.

Аналогично, l есть максимальная размерность пространства, на котором функция h отрицательно определена.

Д-во: очевидно, что ф-ция q положительно определена на k-мерном подпространстве < >. Пусть теперь U – произвольное подпространство, на котором ф-ция q положительно определена, и W=< , … , >. Т.к. q(x) 0 при x W, то U W=0 следовательно dimU K.

Следствие.(закон инерции) Числа k и l в нормальном виде (11) q(x)= +…+ - -…- вещественной квадратичной функции q не зависят от выбора базиса, в котором эта ф-ция имеет нормальный вид. Эти числа называются соответственно положительным и отрицательным индексом инерцииквадратичной ф-ции q (а также соответственно симметрической билинейной ф-ции h). Пара (k,l) назыв. сигнатуройф-ции q (или ф-ции h).

Пример. Квадратичная ф-ция q(x)= путем (невырожденного) преобразования координат приводится к виду q(x)= . Поэтому ее сигнатура равна (1,1).