Метод Якоби

Date: 2015-10-07; view: 456.

Если все угловые миноры матрицы вещественной квадратичной ф-ции q отличны от нуля, то отрицательный индекс инерции ф-ции q равен числу перемен знака в последовательности

1, , , … ,

Д-во непосредственно следует из теоремы 2. Заметим, что в условиях теоремы ф-ция q невырожденна, так что сумма ее индексов инерции равна n.

Следствие (критерий Сильвестра). Вещественная квадратичная ф-ция является положительно определенной тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы положительны.

Д-во: Если все угловые миноры положительны, то, в частности, они отличны от нуля, и применение метода Якоби доказывает, что ф-ция является положительно определенной. Обратно, если ф-ция положительно определена, то ее ограничение на люое подпространство (в обозначениях теоремы 2), также положительно определенно и, следовательно, невырожденно. Это означает, что все угловые миноры отличны от нуля. Применяя метод Якоби, получаем, что они положительны (д-во методом от противного).