Неравенство Коши-Буняковского. Матрица Грамма и ее свойства.

Date: 2015-10-07; view: 567.

Предложение1. Для любых векторов x, y евклидова пространства |(x,y)| |x||y| (1)

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны. Неравенство (1) называется неравенством Коши-Буняковского. Д-во. Если y= x, то |(x,y)|=| ||(x,x)|= | | =|x||y|. Если векторы x и y непропорциональны, то они составляют базис двумерного подпространства. Матрица скалярного умножения на этом подпространстве в базисе {x,y} имеет вид .Ввиду положительной определенности скалярного умножения ее определитель должен быть положителен; но это и означает, что |(x,y)| |x||y|. Угол между ненулевыми векторами x и y евклидова пространства определяется по формуле cos = . В частности, угол равен 0 или π тогда и только тогда, когда векторы x и y пропорциональны; = тогда и только тогда, когда векторы x и y ортогональны.Неравенство Коши-Буняковского является частным случаем более общего неравенства, относящегося к произвольной конечной системе векторов { , … , } евклидова пространства. Матрица G( , … , )= называется матрицей Граммасистемы векторов { ,… , }. Теорема. Для любых векторов , … , евклидова пространства справедливо неравенство detG( , … , ) 0, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы , … , линейно зависимы. Д-во.Если = 0, то = 0 при всех j, а это означает, что линейная комбинация строк матрицы G( , … , ) с коэффициентами , … , равна нулю. Поэтому если векторы

, … , линейно зависимы, то detG( , … , )=0. Если же они линейно независимы, то так же, как в случае k=2, доказывается, что detG( , … , ) 0. Базис евклидова пространства, в котором скалярное умножение имеет нормальный вид, называется ортонормированным. Ортонормированность базиса { , … , } может быть выражена любым из следующих эквивалентных условий:

1) Скалярное умножение в этом базисе имеет вид (x,y)= + … + ;

2) Скалярный квадрат в этом базисе имеет вид (x,y)= + … + ;

3) Матрица скалярного умножения в этом базисе (т.е. матрица Грамма G( , … , )) является единичной матрицей;

4) ( , )= ;

5) Базисные векторы попарно ортогональны и имеют длину 1.