Сопряженный оператор, его свойства
Date: 2015-10-07; view: 417.
Пусть А линейный оператор, действующий в пространстве Е со скалярным произведением (х,у).
Линейный оператор А*, соответствующий функции fAT , называется сопряженным оператором по отношению к А. Иначе говоря, сопряженный оператор определяется множеством (А* х, у)=(х, Ау)
Матрицей оператора А* в ортонормированном базисе является транспонированная матрица оператора А
Пусть В = (е1,…,еn) – какой-нибудь ортонормированный базис пространства Е. Поскольку равенство (А* х, у)=(х, Ау) верно для любых векторов, то оно верно и для векторов базиса: (Аеi, ej) = (ei, A*ej).
Свойства:
1. А** = А
Пусть х и у - произвольные векторы. Тогда
(Ах, у) = (х, А*у) = ( 
) = ( 
) = (А**х, у)
Т.к. это верно для 
у, то Ах = А**х
Поскольку х – произвольный вектор, то А=А**.
2. (А+В)* = А* + В*.
((А+В)*х,у) = (х,(А+В)у) = (х,Ау+Ву) = (х,Ау)+(х,Ву) = (А*x,y)+(B*x,y) = (A*x+B*x,y) = ((A*+B*)х,у). Отсюда, в силу произвольности векторов х и у, получаем (А+В)* = А*+В*
3. (A,B)* = B*A*
4. 
A)* = 
A*
5. (A-1)*=(A*)-1, если А – невырожден.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Ортогональные матрицы и их свойства | | | Самосопряжённые операторы, ортогональные операторы и их свойства |