Самосопряжённые операторы, ортогональные операторы и их свойства

Date: 2015-10-07; view: 416.

Линейный оператор А в пространстве со скалярным произведением называется самосопряженным, если А = А*. Так же симметрические операторы называются самосопряженными.

Симметрическим (кососимметрическим) билинейным функциям соответствует так называемые симметрические (кососимметрические) линейные операторы. Они характеризуются тем, что А*=А (А*=-А), а в матричных терминах – тем, что их матрица в ортонормированном базисе симметрична(кососимметрична)

Линейные операторы, для которых А*=А^-1, называются ортогональными. Иначе говоря, оператор А, ортогонален если (Ах, Ау) = (х,у)

(Ах, Ау) = (х,А*Ау) = (х,А^-1Ау) = (х,у), т.е. если А сохраняет скалярное произведение векторов.

Из тождества (х,у)= (|x+y|² - |x|² - |y|²) следует, что оператор А ортогонален тогда и только тогда, когда он сохраняет длины векторов.

(х,у) = (|x+y|² - |x|² - |y|²) = ((x+y, х+у) – (x, х) – (y,у)) = ((х,x+y) + (у,x) + (у,x) – (х, х) – (у,y)) = ((х,х)+(x,y) + (у,x) + (у,у) – (х, х) – (у,y)) = (х,у)

В матричных терминах ортогональные операторы характеризуются тем, что их матрица в ортонормированном базисе ортогональна.