Приведение квадратичной формы к главным осям

Date: 2015-10-07; view: 465.

Следствие

Для любой квадратичной функции q в евкли­довом пространстве существует ортонормированный базис, в котором ее матрица диагональна, т. е.

q(x) = λ_lx² + ... + λ_nx_n² (*)

Нужно понимать, что в формулировке этого следствия речь идет об ортонормированности в смысле скалярного умножения, а не в смысле симметрической билинейной функции , соответствующей q. Однако, поскольку матрица функции в указанном базисе диагональна, этот базис является также ортогональным (но, вообще говоря, не ортонормированным) в смысле функции .

Отметим, что числа λ₁..., λ_n — это собственные значения соответствующего симметрического оператора и, следовательно, определены однозначно с точностью до перестановки.

Выражение (*) называют каноническим видом квадратичной функции q, а нахождение ортонормированного базиса, в котором функция q имеет такой вид, часто называют приведением к глав­ным осям