Теорема о полярном разложении линейного оператора, действующего в евклидовом пространстве.

Date: 2015-10-07; view: 504.

Теорема

Всякий невырожденный линейный оператор в евклидовом пространстве единственным образом представ­ляется в виде произведения положительно определенного сим­метрического и ортогонального операторов

Такое представление линейного оператора называется его поляр­ным разложением.

Доказательствo

Пусть А — невырожден­ный линейный оператор. Предположим, что А = СО, где С — по­ложительно определенный симметрический, а О — ортогональный операторы. Тогда

АА* = CO(CO)*=СОO* С* =COO^-1C=CEC=С².

Следовательно, по лемме оператор С определен оператором А однозначно. Следовательно О – Определен оператором А, тоже единственным образом.

Покажем существование полярного разложения для А

(x, АА*у) = (А*х, А*у)

оператор А невырожден (и, значит, А*тоже) следует, что АА* — положительно определенный симметрический оператор. (х, АА*х)>0 , х!=0 х!=0 => А*х!=0 => (А*х, а*х)>0 , АА* = С² где С - положительно опреде­ленный симметрический оператор, 0 = С^-1A. Тогда А = СО и

АА* =СОО*С = С²,

откуда после сокращения на С получаем, что ОО* =ε, т.е. О — ортогональный оператор.