Действительно
Date: 2015-10-07; view: 418.
Опр.2
Опр.1
Корневые подпространства
V-конечномерное пр-во над полем C, е – корневой вектор лин. опер-ра А, отвечающего числу λ над полем К, если для некоторого положительного, целого числа m выполняется следующее свойство (A-λε)me=0. Наименьшее из таких чисел m- наз. Высотой корневого вектора е.
Любой собственный вектор оператора А явл. корневым высоты 1.
Нулевой вектор будем считать корневым высоты 0 по опр-ю.
(A-λε)(А- λε)m-1e = 0
f = (А- λε)m-1e => (А- λε)f = 0
Af = λf => λ – собственное знач-е А.
λ- корень характеристического многочлена лин. опер-ра А.
Корневые векторы, отвечающие корню λ, образуют лин. подпространство.
Это подпр-во называется корневым подпространством оператора А и обозначается V λ(A).
пусть е, f 
Vλ(A); λμ 
K => 
m1 Z>0 : (A- λε)m1e = 0 и m2 Z>0 : (A- λε)m2f = 0
.χe+μf=0
Пусть m = max{m1; m2}, тогда (А- λε)me=0, (А- λε)mf=0, где (А- λε)m - линейный оператор такой, что (А- λε)m (χe+μf)=0
Vλ(A)≤ Vλ(A)
Корневое подпространство Vλ(A) инвариантно относительно оператора А.
Пусть е 
Vλ(A) => 
m Z>0 : (А- λε)me=0, m-высота вектора е, тогда (А- λε)me-корневой вектор высоты m-1
Следовательно, Vλ(A) инвариантно относительно оператора А- λε
е Vλ(A); Ae-λe Vλ(A); λe Vλ(A) => Ae Vλ(A) => Vλ(A) инвариантно относительно А.
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Теорема о полярном разложении линейного оператора, действующего в евклидовом пространстве. | | | Доказательство. |