Доказательство.
Date: 2015-10-07; view: 402.
Теорема о размерности корневого подпространства
Предложение 1. Размерность корневого подпространства равна кратности соответствующего корня характеристического многочлена.
Vλ(A) = < Vλ(A)
{е1,..., еk} базис пространства Vλ(A) , дополним его до базиса пр-ваV, {е1,..., еk,…,еn}- базиса пр-ваV . Vλ(A)- инвариантно относительно А,т.е. А(Vλ(A)) =< Vλ(A) следовательно матрица А оператора А в выбранном базисе имеет вид
А= ( 
), где В — матрица оператора А на подпространстве Vλ(A), С – матрица опер-ра А на подпространстве W = <ek+1,…,en>
V= Vλ(A)+! W
Построим матрицу оператора А в выбранном базисе
А= ( ) В = ( 
)k С=n-k
Вычислим характеристический многочлен оператора А
fA(t) = fB(t)- fС(t)= |tE-B| - |tE-C| = (t-λ)k |tE-C|
Построим по матрице С линейный оператор С действующий в пространстве W, покажем что λ не является корнем хар-го мн-на оператора С, т.е. λ не является собственным значением оператора С
Предположим противное. Тогда существует такой ненулевой вектор е 
W, что Се = λе. Это означает, что
Ае=λе + и, u=(А- λε)e, где u – корневой вектор,но и е – корневой в-р Vλ(A) 
W+{0} □
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Действительно | | | Нильпотентные операторы и их свойства. |