Нильпотентные операторы и их свойства.

Date: 2015-10-07; view: 438.

Разложение линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.

Лин.простр. V раскладывается в прямую сумму корневых подпространств л.о. A: .

Доказательство: сумма корневых подпространств является прямой, следовательно, размерность прямой суммы равна сумме размерностей всех этих корневых подпространств(т.е. n).Размерность V и размерность прямой суммы корневых подпространств равны. Следовательно, эти пространства совпадают.

Л.о. N назыв. НИЛЬПОТЕНТНЫМ,если сущ. положительное целое число m такое,что . Наименьшее из таких чисел m наз. ВЫСОТОЙ нильпотентного оператора N.

Пусть N – нильпотентный оператор, действующий в V,e V. ВЫСОТОЙ вектора e относительно оператора N наз. наименьшее положительное целое число m,для которого (ht(e) – обознач. высоты). Высота вектора e относительно НИЛЬПОТЕНТНОГО оператора N совпадает с высотой корневого вектора e оперетора N ,отвечающего нулевому собственному значению.

Лемма Пусть e V – вектор высоты m относительно нильпот.опер. N, тогда вектор e,Ne, e,…, e – ЛНЗ.

Доказательство. Предположим, что имеется нетривиаль­ная линейная зависимость

e+ Ne+ N²e+ …+ N^m-1 = 0.

Пусть —первый из ее отличных от нуля коэффициентов. Тогда, применяя оператор N^m-k-1, мы получаем неверное равенство

^m-1e = 0. □