Разложение линейного пространства в прямую сумму циклических подпространств.
Date: 2015-10-07; view: 565.
Подпростр. < e,Ne, 
e,…, 
e>,m=hte относительно N наз. циклическим подпростр., порождённым вектором e относительно нильпотентного опер. N.Векторы e,Ne, e,…, e образуют базис этого подпр-ва.
Теорема2: Пространство V раскладывается в прямую сумму циклических подпространств оператора N.Количество прямых слагаемых в таком разложении равно размерности ядра оп. N.
Доказ-во. Будем доказывать теорему индукцией по п = dim V. При п = 1 утверждение теоремы очевидно. При п > 1 пусть U 
V — какое-либо (п — 1)-мерное подпространство, содержащее ImN. Очевидно, что U инвариантно относительно N. По предположению индукции
. где Ul,...,Uk —циклические подпространства. Возьмем любой вектор е 
V - U. Имеем
Nе =u1 + ... + ик (иk U).
Если для какого-то i Ui=Nvi Nui то, заменив вектор е на е — vi мы можем добиться того, чтобы vi = 0. Поэтому можно считать, что для любого i либо ui = 0, либо ui 
Nui
Если иi = 0 для всех i, т.е. Ne = 0, то V = <е> 
есть разложение пространства V в прямую сумму циклических подпространств.
Пусть теперь Ne 
0. Очевидно, что ht Ne = max ht ui.
Будем считать для определенности, что ht Ne = ht ui, = m. Тогда ht e = m + 1. Докажем, что V = <e, Ne, N2e, ..., Nm> 
. Так как u1 NU1, то dim U1, = ht u1 = m и, значит, dim V = dim U + 1 = (m + 1) + dim U2 + ... + dim Uk. Поэтому достаточно проверить, что (е, Ne, N2е, ..., Nте) 
) = 0.
Предположим, что 
e, 
Ne, 
N2e, ..., 
Nm 
Так как е U, то 
0 = 0. Проектируя оставшиеся члены на U1 мы получаем u1+ Nu1+ ..+ Nm-1u1 =0,
откуда 1 = 2 = ... = m =0. Докажем второе утверждение теоремы. Пусть V = 
— разложение пространства V в прямую сумму циклических подпространств оператора N. Очевидно, что
KerN = КегN|V1 
.. . KerN|Vk .
Так как dim Кег N|Vi = 1 при любом i, то dimKer N=k. □
| <== previous lecture | | | next lecture ==> |
| Нильпотентные операторы и их свойства. | | | Жордановы матрицы. |