Линейно-независисые и Линейно-зависимые векторы.Свойства.

Date: 2015-10-07; view: 461.

Определение. Система векторов x1, x2, … , xn О X называется линейно зависимой, если существуют числа α1, α2, … , αn О R , не все равные нулю (т.е. α12 + α22 + … + αn2 ≠ 0 ), такие, что

α1x1 + α2x2 + … + αnxn = θ.

Если это равенство выполняется только при α1 = α2 = … = αn = 0 , то система векторов называется линейно независимой.

Вместо "линейно зависимая (или независимая) система векторов" можно говорить просто "линейно зависимые (или независимые) векторы".

Теорема Чтобы векторы x1, x2, … , xn О X были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них являлся линейной комбинацией остальных.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (Москва, Изд–во МЭИ, 2000, стр.39).

Следствие. Два вектора x1 и x2 линейно зависимы тогда и только тогда, когда x1 = αx2 или x2 = βx1 при некоторых α, β О R , т.е. когда векторы x1 и x2 коллинеарны.

Св-ва: 1. Любая система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства, содержащая нулевой вектор, линейн зависима.

2. Любая система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства, содержащая пару взаимно противоположных векторов, линейн зависима.

3. Любая подсистема векторов линейно независимой системы векторов линейного пространства линейно независима.

4. Любая система векторов линейного пространства, содержащая линейно зависимую подсистему векторов, линейно зависима.

5. Система векторов линейного пространства линейно зависма тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов системы линейно выражается через остальные векторы системы (представлен в виде разложения по векторам системы).

6. Система векторов линейного пространства линейно независма любая её подсистемы векторов.

7. Система векторов, состоящая из одного ненулевого вектора линейного прострранства, линейно независима.

15) Проекция вектора на ось. Свойства.
Пусть задана векторная ось ОХ и лежащая вне оси точка М.
Опр: проекцией точки М на ось ОХ называется основание перпендикуляра, опущенный из точки М на эту ось..
В случае, когда точка М лежит на оси ОХ, проекцией точки М на эту ось считается сама точка М Выражение «проекция вектора на ось ОХ» употребляется в 2 смыслах – геометрическом и алгебраическом.
Опр: проекцией (геометрической) на вектора АВ на ось ОХ называется вектор А1В1 такой, что А1-проекция А на ОХ, В1 – проекция В на ось ОХ
Проекцией (алгебраической) вектора АВ на ось ОХ называется длина вектора А1В1, взятая со знаком + если направление А1В1 совпадает с направлением оси ОХ, и со знаком – если не совпадает.
Геометрическая проекчия вектора – вектор.
Алгебраическая проекция вектора – число!

Свойства проекции вектора
1. проекция суммы векторов на какую- либо ось = сумме проекций слагаемых векторов на эту ось.
2. алгебраическая проекция вектора на какую либо- ось = произведению длины вектора на cos угла между вектором и положит. Напр. Отрезком оси.

16) Декартова система.