Студопедия

Главная страница Случайная лекция


Мы поможем в написании ваших работ!

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика



Мы поможем в написании ваших работ!




Уравнение Пьера Лапласа

Читайте также:
  1. Адиабатический процесс. Уравнение Пуассона
  2. Волновое уравнение
  3. Волновое уравнение
  4. Деньги, их свойства и функции. Уравнение обмена
  5. Дифференциальное уравнение теплопроводности (дифференциальное уравнение Фурье)
  6. Интегральная теорема Муавра - Лапласа.
  7. Инфляция и устойчивость денежного обращения. Уравнение Фишера
  8. Критерии диагноза наследственная мозжечковая атаксия Пьера Мари
  9. Лекция № 4 «Приближённое дифференциальное уравнение упругой линии балки. Способы определения перемещений».
  10. Локальная теорема Муавра - Лапласа.

 

Двумя парами меридиональных и конических плоскостей выделим элемент оболочки.

Обозначения:

σм - напряжения вдоль направления меридиана (меридиональные напряжения),

σк - напряжения по кольцевому сечению (окружные или кольцевые напряжения),

ρм - радиус дуги по меридиану,

ρк - радиус дуги кольцевого сечения,

δ - толщина оболочки,

Pвн- внутреннее давление,

Pн - наружное давление,

Избыточное внутренне давление (разность между внутренним и наружным давлениями)

P = Pвнутр - Pнар.

Элемент форму менять не может: отсутствуют касательные напряжения (т.к. касательные напряжения изменяют форму).

Под действием нормальных напряжений элемент может изменять размеры:

σм и σк – главные напряжения.

 

Составим уравнение выделенного элемента оболочки.

 

 

Условие равновесия: сумма сил на нормаль оболочки равна нулю.

∑ Nn = 0

P·dSм·dSк − σм·dSк·δ·sin ·2 − σк·dSм·δ·sin ·2 = 0, [н].

т.к. углы малы, то:

sin

sin ;

длина дуги:

dSк = ρк·dθ

dSм = ρм·dφ.

P·dSм·dSк − σм·dSк·δ· ·2 − σк·dSм·δ· ·2 = 0

P·dSм·dSк − σм·dSк·δ·dφ − σк·dSм·δ·dθ = 0

После замены синуса и сокращения ''2'' разделим на dSм·dSк·δ

 

P·dSм·dSк − σм·dSк·δ·dφ − σк·dSм·δ·dθ = 0 | : dSм·dSк·δ

 

– σм· – σк· = 0

 

= 0

 

Уравнение равновесия элемента оболочки:

.

 

Тонкостенная оболочка противодействует внутреннему давлению за счёт кривизны поверхности (к плоским стенкам не применимо).

В этом уравнении два неизвестных, поэтому запишем уравнение отсечённой части оболочки:

 

 

∑ Fz = 0

 

σм·cosα·2·π· ri·δ – Gi – Pi·π· ri2 = 0

Условие прочности.

Стенка оболочки находится в двумерном напряжённом состоянии: это сложное напряжённое состояние.

Но для использования III-й гипотезы прочности это состояние необходимо свести к одномерному.

σэквIII = σ1 – σ3 ≤ [σ],

 

где: σ1 > σ2 > σ3 (в алгебраическом смысле);

σм и σк – главные нормальные напряжения,

σкас – касательное напряжение.

Но, пренебрегая взаимным давлением молекул друг на друга в стенке, толщиной δ, примем σкас ≈ 0.

 

Пример: Цилиндрический сосуд находится под воздействием внутреннего давления.

Дано: D, δ, P.

Определить: σм, σк.

1.

∑ Fz = 0

σм·π·D·δ – P1· = 0

Следует помнить, что

Sкольца = π·D·δ, а Sкруга = .

.

2.Уравнение Лапласа для цилиндра:

.

Выводы:

▪ В цилиндре кольцевые напряжения в два раза больше чем меридиональные (поэтому зимой трубы лопаются вдоль, а не пополам).

▪ Цилиндрический сосуд с меньшим диаметром при одинаковой толщине стенок выдерживает большее давление.

Устойчивость оболочек.

 

Цилиндрические сосуды подразделяются на две группы: длинные и короткие.

 

Граничная длина:

L > L0 – ''длинные'',

L < L0 – ''короткие''.

 

У длинных и коротких сосудов по-разному происходит потеря устойчивости.

 

 

''Длинный'' цилиндрический сосуд.

Две волны: P(2)критическое.

 

 

 

''Короткий'' цилиндрический сосуд.

Три волны: . Четыре волны: .

Короткий цилиндрический сосуд выдерживает большее давление, чем длинный при одинаковой толщине стенок, давлении и диаметре.

 

Критическое наружное давление можно рассчитать по формуле Попковича:

.

 

Запас прочности приближённо определяется из соотношения:

≈ 1,5 ÷ 2,5.

Замечание о конструктивном решении.

 

Как правило, запас по критическому давлению достигается не за счёт толщины стенки изделия, а за счёт продольных и поперечных рёбер жёсткости.

 

 

Напряжения в оболочках.

По законам механики: силы внутреннего давления, действующие на элементарную поверхность, уравновешиваются усилиями, приложенными по краям, касательными, поперечными силами и изгибающими моментами.

Учесть в процессе расчёта все нюансы механики (теория моментов) сложно, поэтому, пренебрегая действием изгибающих моментов и поперечных сил, расчёт ведут по мембранной теории (при этом Sаппарата -толщина стенки- очень мала по сравнению с длиной, а напряжение равномерно распределено по толщине).

Силы, действующие по касательной к окружности, называют кольцевыми, а по касательной к меридиану – меридиональными (осевыми), при этом кольцевые силы вызывают кольцевые напряжения, а меридиональные – меридиональные напряжения.

 

1). Для закрытого цилиндра:

,

при вертикальном положении сосудов:

P = h·γ , где:

γ – удельный вес жидкости, ;

R – средний радиус цилиндра, [м];

s – толщина стенки, [м].

2). Для сферического аппарата:

3). Для конического аппарата:

, где:

r – средний радиус кольца в точке определения напряжения [м];

α – угол между осью вращения и образующей конуса.

Напряжения σк и σм достигают максимального значения при .


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Тонкостенные сосуды | Краевые распорные силы

Дата добавления: 2014-08-04; просмотров: 662; Нарушение авторских прав




Мы поможем в написании ваших работ!
lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.004 сек.