Студопедия

Главная страница Случайная лекция

Порталы:

БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика






Интегральное исчисление функций многих переменных и элементы векторного анализа

Читайте также:
  1. IV. В теории правового государства выделяются следующие элементы: принцип верховенства права, разделения власти на 3 ветви, независимости суда, конституционного статуса граждан.
  2. Microsoft Excel. Работа с пакетом анализа. Построение простой регрессии
  3. Аксиоматическое исчисление высказываний
  4. Аналитичность голоморфных функций
  5. Б. Дифракция от двух и от многих параллельных щелей.
  6. Блочные и строчные элементы
  7. В общем случае необходимо организовывать последовательность расчётов при возрастающем количестве координатных функций.
  8. Взаимосвязь внутренних переменных организации.
  9. Взаимосвязь общих функций управления.
  10. Виды шарнирных крепей. Конструкции шарниров. Конструктивные элементы

 

Пусть некоторая замкнутая ограниченная область, а произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Потребуем также, чтобы граница этой области была кусочно-непрерывной, то есть состояла из конечного числа кривых вида или , где и непрерывные функции.

Разобьем область произвольно на частей (), таких что и , . Обозначим площадь (). В каждой области выберем произвольно точку и составим сумму

.

Сумма называется интегральной суммой для функции в области .

Диаметром области называется наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения области на части , ни от выбора точек , то этот предел называется двойным интегралом от функции по области , и обозначается

.

Функция при этом называется подынтегральной функцией, областью интегрирования, переменными интегрирования, (или ) – элементом площади. Функция , для которой в области существует двойной интеграл, называется интегрируемой в области .

Область называется правильной или элементарной по отношению к оси (), если прямая, параллельная оси () и проходящая через любую внутреннюю точку области , пересекает границу этой области не более, чем в двух точках.

Пусть функция интегрируема на правильной по отношению к оси области , ограниченной прямыми , и графиками функций и , причем . Тогда двойной интеграл от функции по данной области равен

.

Геометрический смысл двойного интеграла заключается в том, что если в области , то двойной интеграл численно равен объёму криволинейного цилиндра, ограниченного сверху поверхностью , снизу плоскостью и сбоку цилиндрической поверхностью с направляющей и образующими, параллельными оси , вырезающей на плоскости область , то есть .

Пусть некоторая замкнутая ограниченная область в , а произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области.

Разобьем область произвольно на частей (), таких что и , . Обозначим объем (). В каждой области выберем произвольно точку и составим сумму

.

Сумма называется интегральной суммой для функции в области . Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения области на части , ни от выбора точек , то этот предел называется тройным интегралом от функции по области , и обозначается

.

Функция при этом называется подынтегральной функцией, областью интегрирования, переменными интегрирования, (или ) – элементом объема. Функция , для которой в области существует тройной интеграл, называется интегрируемой в области .

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах сводится к последовательному вычислению одного однократного и одного двойного интегралов или к вычислению трех однократных интегралов.

Область называется правильной или элементарной по отношению к оси (или ), если прямая, параллельная оси (или ) и проходящая через любую внутреннюю точку области , пересекает границу этой области не более, чем в двух точках. Область называется простой, если её можно разбить на конечное число элементарных областей.

Пусть функция непрерывна в правильной по отношению к оси области , ограниченной снизу и сверху поверхностями и , причем , и ограничена с боков прямым цилиндром, сечением которого плоскостью, параллельной плоскости , является область . Тогда тройной интеграл от функции по данной области равен



.

Если правильная область , ограничена прямыми , и графиками функций и , причем , то тройной интеграл от функции по области равен

.

Пусть на спрямляемой (имеющей конечную длину) простой кривой с началом в точке и концом в точке задана непрерывная функция , . Разобьем кривую на частей точками , , , , , причем так, чтобы при , где функция определяет длину дуги кривой . Такое разбиение задает ориентацию кривой, то есть определяет направление движения вдоль кривой от точки к точке .

Выберем на каждой дуге произвольную точку и составим интегральную сумму

,

где – длина дуги , . Пусть .

Если существует предел

,

не зависящий ни от способа деления дуги на части , ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода по дуге от функции и обозначается.

Таким образом, по определению,

.

Пусть – непрерывная функция, а – гладкая кривая, заданная параметрическими уравнениями , , , , , причем для начала и конца кривой выполняются соотношения , , , , , . Тогда

.

Иногда кривую можно параметризовать, выбирая в качестве параметра одну из прямоугольных декартовых координат , или . Например, пусть кривая задана на плоскости графиком функции , , то есть , и пусть – непрерывная функция на . Параметризуем кривую, полагая . Тогда и

.

Пусть на простой кривой с началом в точке и концом в точке задана некоторая функция . Разобьем кривую точками на частей (длина каждой равна ). На каждой дуге выберем точку и составим интегральную сумму

,

где – проекция дуги на ось (то есть , а , – абсциссы точек и , соответственно). Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения кривой на части , ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода по координате от функции по кривой , и обозначается

.

Аналогично определяются криволинейные интегралы второго рода по координатам и . Рассмотрим общий случай.

Пусть на простой кривой заданы функции , , . Проведем разбиение кривой как в предыдущем случае и составим интегральную сумму

,

где , , – проекции дуги на оси , , , соответственно. Пусть .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения кривой на части , ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода (общего вида) от функций , , по кривой , и обозначается

.

Следует заметить, что криволинейный интеграл второго рода также как и криволинейный интеграл первого рода обладает свойствами линейности и аддитивности, однако для интегралов второго рода при изменении направления интегрирования меняется знак интеграла. Если кривая интегрирования является замкнутой кривой, то криволинейный интеграл второго рода по этой кривой обозначается

.

Пусть , , – непрерывные функции, а – гладкая кривая, заданная параметрическими уравнениями , , , , , причем для начала и конца кривой выполняются соотношения , , , , , . Тогда

.

Говорят, что граница области ориентирована положительно (отрицательно),если при движении по область располагается с левой (правой) стороны. При этом говорят, что область D ориентирована положительно (отрицательно), если ее граница ориентирована положительно (отрицательно).

Пусть функции и и их частные производные и непрерывны в замкнутой области (односвязной или многосвязной), ограниченной кусочно-гладкой кривой . Тогда справедливо равенство

,

где криволинейный интеграл вычисляется по границе области , ориентированной положительно. Это равенство называется формулой Грина. Формула Грина связывает криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой с двойным интегралом по области, ограниченной этой кривой.

Пусть в пространстве на кусочно-гладкой поверхности задана непрерывная функция . Разобьём поверхность кусочно-гладкими линиями на части с соответствующими площадями , . В каждой части произвольно выберем точку и составим интегральную сумму

.

Обозначим максимальный из диаметров частей .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , , то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности , и обозначается .

Если поверхность задана явно уравнением , то поверхностный интеграл первого рода от функции по поверхности равен

.

Пусть в пространстве задана некоторая гладкая поверхность . В каждой точке такой поверхности существует вектор нормали . Пусть некоторая внутренняя точка поверхности , а некоторая замкнутая кривая, целиком лежащая на поверхности и проходящая только через внутренние точки поверхности , кроме того . Выберем направление вектора в точке .

Гладкая поверхность называется двусторонней, если для любых точки и кривой вектор нормали после обхода кривой при возвращении в исходную точку имеет первоначально выбранное направление. В противном случае гладкая поверхность называется односторонней.

Пусть на двусторонней поверхности выбрана одна сторона, тогда говорят, что поверхность ориентирована. Ориентацию поверхности задают выбором в точках этой поверхности направления вектора нормали в выбранную сторону.

Пусть в точках ориентированной поверхности задана функция . Разобьем кусочно-гадкими кривыми на куски , . В пределах каждого куска выберем произвольно точку и составим интегральную сумму

,

где – величина, равная площади проекции ориентированной поверхности на плоскость , взятая со знаком плюс, если и ось образуют острый угол, и минус, если этот угол тупой. Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , , то он называется поверхностным интегралом второго рода по переменным и от функции по ориентированной поверхности , и обозначается .

Аналогично определяются поверхностные интегралы второго рода по переменным , и , . Рассмотрим общий случай.

Пусть на ориентированной поверхности заданы функции , , . Как в предыдущем случае проведем разбиение поверхности и составим интегральную сумму

,

где , , – площади проекции поверхности на плоскости , , , взятые со знаком плюс или минус, в зависимости от того составляет ли острый (тогда «+») или тупой (тогда «–») угол вектор и осями , , . Обозначим .

Если существует предел интегральной суммы при и , не зависящий ни от способа разбиения поверхности на части , ни от выбора точек , , то он называется поверхностным интегралом второго рода (общего вида) от функций , , по ориентированной поверхности , и обозначается

.

Если – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл второго рода обозначается

.

Пусть поверхность однозначно проектируется на координатные плоскости , , в области , , . В этом случае возможно явное задание поверхности с помощью уравнений

, ; , , , .

Тогда поверхностный интеграл второго рода от функций , , по ориентированной поверхности равен

,

где знак перед первым интегралом выбирается плюс, если и ось образуют острый угол (минус – если угол тупой); знак перед вторым интегралом выбирается плюс, если и ось образуют острый угол (минус – если угол тупой); знак перед третьим интегралом выбирается плюс, если и ось образуют острый угол (минус – если угол тупой).

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом по внешней стороне замкнутой поверхности и тройным интегралом по пространственной области , ограниченной этой поверхностью.

Пусть , , – непрерывно дифференцируемые функции в замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью . Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса

,

где поверхностный интеграл берется по замкнутой поверхности , ориентированной внешней нормалью.

Формула Стокса связывает криволинейный интеграл второго рода по замкнутому контуру с поверхностным интегралом второго рода по поверхности , ограниченной этим контуром.

Пусть в области определены непрерывно дифференцируемые функции , , , и в этой области расположена положительно ориентированная гладкая поверхность , ограниченная кусочно-гладким контуром . Тогда справедлива формула Стокса

.

Закон, по которому каждой точке поставлено в соответствие некоторое число , называется скалярным полем, и обозначается . Другими словами, скалярное поле – есть некоторая скалярная функция нескольких переменных , . Если скалярное поле задано функцией двух переменных , то оно называется плоским.

Геометрической характеристикой скалярного поля служат поверхности уровня (для плоского скалярного поля – линии уровня). Поверхность уровня – это множество точек пространства, в которых значение скалярного поля постоянно, то есть (для линий уровня ).

Пусть в некоторой области евклидова пространства задано скалярное поле . Рассмотрим это поле в прямоугольной декартовой системе координат , , и зафиксируем точку . Проведем через эту точку прямую в направлении вектора с началом в точке и рассмотрим значения скалярной функции в точке и в близких к ней точках . Введем число , равное длине вектора (), если векторы и совпадают по направлению, и равное , если эти векторы противоположны по направлению.

Производной скалярной функции в точке по направлению вектора называется предел , обозначаемый символом .

Их этого определения следует, что производная скалярной функции по заданному направлению является скаляром. Рассмотрим приращение . Для этого введем обозначение и единичный вектор по направлению :

,

где ; , , – соответствующие проекции вектора на оси , , . Тогда

,

где и – радиус-векторы точек и соответственно. В прямоугольных декартовых координатах приращение примет вид

.

Таким образом, приращение можно рассматривать как сложную функцию независимой переменной . Предполагая дифференцируемость функции в точке , запишем

,

где – бесконечно малая функция более высокого порядка, чем при .

Подставляя найденное приращение в определение производной скалярной функции по направлению, получаем

,

то есть

.

В частности, если вектор сонаправлен с одной из координатных осей, то производная по направлению совпадает с соответствующей частной производной. Например, если , то

.

Производная поля в точке по направлению характеризует скорость изменения поля по направлению , а частные производные , , скорость изменения скалярного поля по направлению осей , , соответственно.

Градиентом скалярного поля в точке называется вектор, обозначаемый и равный

.

Можно показать, что не зависит от выбора прямоугольной декартовой системы координат. С помощью градиента скалярного поля можно записать

,

где – угол между и вектором .

Поскольку принимает максимальное значение при , то вектор указывает направление наискорейшего возрастания функции в точке , и при .

Закон, по которому каждой точке поставлен в соответствие некоторый вектор , называется векторным полем, и обозначается . Таким образом, векторное поле – есть некоторая векторная функция нескольких переменных, В прямоугольной декартовой системе координат задание векторного поля равносильно заданию трех скалярных функций , , , то есть . Векторное поле вида называется плоским.

Геометрическими характеристиками векторного поля являются векторные линии и векторные трубки.

Кривая , в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением вектора , называется векторной линией. Векторные линии определяются системой дифференциальных уравнений

.

Векторной трубкой называется поверхность, образованная векторными линиями, проходящими через точки некоторой лежащей в поле замкнутой кривой не совпадающей (даже частично) с какой-либо векторной линией.

Пусть – дифференцируемое в области векторное поле.

Скаляр, обозначаемый и равный

,

называется дивергенцией векторного поля в точке .

Применяя понятие дивергенции векторного поля, сформулируем теорему (формулу) Остроградского Гаусса в векторной форме.

Пусть – непрерывно дифференцируемое векторное поле в замкнутой области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью . Тогда справедлива формула Остроградского-Гаусса

,

где поток векторного поля вычисляется через замкнутую поверхность , ориентированную внешней нормалью.

Таким образом, поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по области, ограниченной этой поверхностью.

Из теоремы Остроградского Гаусса в векторной форме следует инвариантное определение дивергенции векторного поля.

Пусть в области , ограниченной кусочно-гладкой поверхностью , задано непрерывно дифференцируемое векторное поле , и пусть – внутренняя точка области . Тогда дивергенцией векторного поля в точке называется скаляр, обозначаемый и равный

,

где и – соответственно диаметр и объем области .

Ротором (или вихрем) векторного поля в точке называется вектор, обозначаемый (или ) и равный

,

где частные производные вычислены в этой точке.

Ротор векторного поля часто записывают в виде символического определителя

.

Сформулируем теорему (формулу) Стокса в векторной форме.

Пусть в области определено непрерывно дифференцируемое векторное поле , и в этой области расположена положительно ориентированная гладкая поверхность , ограниченная кусочно-гладким контуром . Тогда

.

Следовательно, циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора поля через поверхность , натянутую на этот контур.

Введем поверхностный интеграл следующе


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Ряды.Интегральное исчисление функций многих переменных и элементы векторного анализа | Сущность ее заключается в отборе беременных и новорожденных в группы высокого риска и направленное обеспечение их оптимальным уровнем помощи

Дата добавления: 2014-02-26; просмотров: 753; Нарушение авторских прав


lektsiopedia.org - Лекциопедия - 2013 год. | Страница сгенерирована за: 0.033 сек.