УДК 681.5.015:519.237

ÓСамГАПС, 2006

ã Тюмиков Д.К., 2006

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие 5

ВВЕДЕНИЕ 6

1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ 8

1.1. Предмет моделирования 8

1.2. Методы построения моделей 11

1.3. Свойства оценок параметров моделей 13

1.4. Входные воздействия для идентификации

динамических систем 14

1.5. Вопросы для самоконтроля 17

2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ 18

2.1. Задача интерполяции 18

2.2. Конечные разности 19

2.3. Интерполяционные полиномы 20

2.4. Вопросы для самоконтроля 22

3. ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 23

3.1. Основные характеристики обработки

экспериментальных данных 23

3.2. Метод наименьших квадратов 24

3.3. Коэффициент корреляции. Автокорреляция 25

3.4. Методы сглаживания 27

3.5. Сравнение моделей 28

3.6. Вопросы для самоконтроля 30

4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ ВО ВРЕМЕННОЙ

зависимости 31

4.1. Аппроксимация тригонометрическим полиномом 32

4.2. Выбор порядка тригонометрического полинома 33

4.3. Вопросы для самоконтроля 35

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ 36

5.1. Основа моделирования электрических систем 36

5.2. Преобразования Фурье и Лапласа 40

5.3. Основные характеристики систем 43

5.4. Расчет электрических цепей 45

5.5. Вопросы для самоконтроля 46

6. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 47

6.1. Методы решения нелинейных алгебраических

уравнений 49

6.2. Определение числа корней алгебраических уравнений 53

6.3 Решение систем дифференциальных уравнений 55

6.4. Методы случайного поиска 56

6.5. Линейные и нелинейные методы 58

6.6.Методы случайного поиска в задачах оптимизации 58

6.7.Вопросы для самоконтроля 60

7. СИМВОЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 61

7.1 Символьные операции с выделенными переменными 62

7.2 Символьные операции интегральных преобразований 63

7.3 Символьные вычисления производных и интегралов 65

7.4 Вычисления сумм и произведений 65

7.5 Разложение выражений 66

7.6 Вопросы для самоконтроля 66

8. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О MATHCAD 67

8.1. Цель и назначение пакета 67

8.2. Палитра инструментов 68

8.3. Основные типы данных в MATHCAD 69

8.4. Составление отчета 71

8.5 Вопросы для самоконтроля 71

Алфавитный указатель 72

Условные обозначения 75

Библиографический список 77

Предисловие

Преобладающее большинство дисциплин, формирующих инженерные специальности, основываются на определенном математическом аппарате. Его применение позволяет «погрузить» инженерную задачу в математическую формулировку, решить задачу, привести различные промежуточные расчеты с анализом результатов, получить требуемые результаты и сделать вывод о целесообразности практического применения этих результатов или о продолжении исследований.

В этой цепочке вычислительных операций важнейшим звеном является выбор соответствующего математического аппарата, на основе и с помощью которого можно получить качественные математические модели, адекватные объекту исследования. От правильного выбора и корректно построенной математической модели зависит успех всех дальнейших математических исследований, а следовательно, и успех решения поставленной инженерной задачи.

Подбор и построение математической модели, исследование изучаемого объекта на основе полученной модели, формирование выводов об адекватности или о результативности исследования составляют этапы математического моделирования.

В настоящее время процесс математического моделирования невозможно представить без компьютерной поддержки, а также, без применения специальных или специализированных программных пакетов.

Поэтому цель данного конспекта лекций помочь сформировать математическую культуру будущего инженера, научить его ориентироваться как в математических методах моделирования, так и в прикладных программных пакетах. Автор также надеется, что этот пособие восполнит пробел по учебным изданиям рассматриваемого направления.

Конспект лекций предназначен для изучения теоретических основ методов математического моделирования и реализации этих методов на практических и лабораторных занятиях с помощью математического пакета MATHCAD (переводится: MATHematica – математика, CAD (Computer Aided Design) системы автоматизированного проектирования (САПР). Пособие также может быть полезно преподавателям и студентам как дневной, так и заочной форм обучения для самостоятельного изучения.

Содержание конспекта лекций соответствует учебной программе электротехнических специальностей по курсу «Математическое моделирование систем и процессов» и согласовано с ведущими преподавателями кафедр электротехнического факультета СамГАПС.

Предлагаемый конспект лекций состоит из двух частей:

В первой части (1-6 главы) содержится теоретическое описание методов математического моделирования с комментариями и условиями применения.

Во второй части (7,8 глава) приводятся сведения операторов и функций пакета MATHCAD для оформления протоколов лабораторных работ. В конце пособия приводится алфавитно-предметный указатель, список условных обозначений и библиографический список.

Введение

Представить наблюдаемую зависимость между переменными в виде некоторой аналитической формы и даже исследовать эту зависимость ¾ такова задача и предмет курса «Математическое моделирование систем и процессов». Главное отличие и особенность этого курса заключается в изучении и обоснованном выборе методов моделирования и корректных действий при обработке данных. Поэтому необходимо иметь сведения о возможных математических моделях, описывающих исследуемые (моделируемые) объекты или физические (технологические) процессы. Также необходимо знать и методы математического моделирования, применяемые для построения тех или иных моделей систем и процессов.

Немаловажное значение имеет знание возможностей методов, условий их применения и ограничений на их применение.

Этот курс можно считать интегрирующим, т.к. он включает в себя знание высшей математики в виде разделов алгебраических уравнений и их систем, обыкновенных уравнений и их систем, матричного исчисления, функций комплексного переменного, преобразований Фурье и Лапласа, численных методов решения алгебраических и дифференциальных систем, методов математической статистики. Также необходимы знания в профессиональной области и, конечно, знания компьютерной техники и программного обеспечения.

Предлагаемый конспект лекций призван помочь студентам в освоении теоретических знаний и формировании практических навыков для самостоятельного моделирования объектов и технических процессов профессиональной области.

Первые сведения о методах построения математических моделей относятся к 1805 г., когда появилось описание метода наименьших квадратов, предложенного Адриеном Мари Лежандром (1752-1833) и Карлом Фридрихом Гауссом (1777-1855) в 1809 (по некоторым источникам в 1895 г.). В 1885 г. Френсис Гальтон соединил метод наименьших квадратов со средствами статистического анализа полученных результатов, создав таким образом регрессионный анализ как общий метод построения математических моделей на основе экспериментальных данных.

Появление преобразования Фурье (в честь Жана Батиста Жосефа Фурье, 1768-1830гг) позволило моделировать объекты в частотной области, т.е. исследовать спектральные характеристики, в том числе амплитудно-частотные и фазочастотные. А предложенное Пьером Симоном Лапласом (1749-1877 гг.) преобразование дало возможность моделировать объекты в области комплексного переменного (аргумента).

Современный инженер электротехнических специальностей должен владеть перечисленными методами моделирования, знать особенности и преимущества каждого из них.

В предлагаемом конспекте лекций дается краткая характеристика методов моделирования ¾ глава 1, рассматривается задача интерполяции ¾ глава 2, приводятся характеристики и методы, используемые при обработке экспериментальных данных, ¾ глава 3.

Анализируется метод моделирования сигналов с аргументом во временной области – глава 4.

Исследуются электротехнические системы с аргументом в частотной области и области комплексного переменного – глава 5.

Описываются численные методы решения систем алгебраических и дифференциальных уравнений, нахождения корней нелинейных уравнений, вычисления коэффициентов корреляции и регрессии ¾ глава 6.

Глава 7 знакомит с символьным процессором пакета MATHCAD, используемого для аналитических преобразований при выполнении лабораторных и курсовых работ.

В главе 8 даются общие сведения и раскрываются возможности пакета MATHCAD.

Для облегчения работы с конспектом лекций в конце приводится предметно-алфавитный указатель, список условных обозначений и библиографический список.

Конспект лекций можно рекомендовать для самостоятельного изучения студентам дневной и заочных форм обучения всех специальностей, для которых необходимы знания методов математического моделирования.

Дата добавления: 2014-08-04; просмотров: 338; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!