РАЗДЕЛ III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

§1.АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

5.1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Пусть , .

Найти: уравнение прямой , проходящей через точку перпендикулярно вектору (см. рис.)

Назовем _____________________________.

Выберем на произвольную точку .

Найдем координаты . Т.к. , то ___________

– уравнение прямой , ___________________________________________

__________________________________________________________

5.2. Общее уравнение прямой

Из уравнения 5.1 с помощью элементарных преобразований получим:

_________________________________________________________________

(5.2)

– ____________________________________.

Частные случаи уравнения (5.2)

1) _____________, 2) ______________, 3) ______________, 4) ____________,

5) __________________.

5.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть . Разрешим общее уравнение прямой (5.2) относительно : ___________ . Пусть ____________, тогда

_________________________________________ (5.3)

где ___ – угловой коэффициент прямой, _____ – отрезок, который отсекает данная прямая на оси .

Замечание 1. Если _____, то _____ – прямая проходит ______________ _________________; если _____, то ______ – семейство прямых, ___________________________________________

5.4. Параметрические и канонические уравнения прямой

Определение 5.1

Всякий ___________вектор ________________ прямой называется ______________________________ этой прямой.

Пусть точка , тогда произвольная точка лишь при условии, когда вектор ____________ . Это означает, что ________________

Если обозначить радиус-вектора точек , через __ и __, соответственно, то , тогда:

____________

Если ______________________________, то в координатах запишется:

– ______________________ прямой на плоскости, проходящей через точку _________ в направлении _______________.

Исключая из уравнений (5.4) параметр __, получаем:

– ______________________________ прямой.

Замечание 2. Уравнение (5.5) необходимо воспринимать как ________________: если ____, то это прямая, ______________________, проходящая через точку ______.

Замечание 3.

Приведем уравнение (5.5) к общему знаменателю:

________________________________________

– общее уравнение прямой.

1) В задачах ______ часто обозначают __________.

2) __________________________________________________________ ______________

Вместе с каноническим уравнением (5.5) используется уравнение прямой, _______________________________: если , , то

.

Можно в качестве _________________ вектора принять __________, тогда:

– уравнение прямой, ______________________________________________.

5.5. Уравнение прямой в отрезках

Пусть дано общее уравнение прямой: _______________________________

Тогда

– ____________________________, где – _______________________ ____________________________________________________________.

Пример 5.1. Построить прямую, заданную общим уравнением . Написать уравнение этой прямой в отрезках.

Ответ.

5.6. Взаимное расположение прямых на плоскости

Утверждение 5.1. Для того чтобы прямые и , заданные уравнениями

(5.8)

_____________________, необходимо и достаточно, чтобы

Утверждение 5.2.Прямые и , заданные уравнениями (5.8) _______________________________ тогда и только тогда, когда

Замечание 4. _________________________________________________

5.7. Полярная система координат. Расстояние от точки до прямой

Зафиксируем на плоскости точку и назовем ее _____________. Луч , исходящий из __________, назовем ___________________. Выберем масштаб для измерения длин отрезков и условимся, что поворот вокруг т. __________________ будем считать __________________. Рассмотрим любую точку на заданной плоскости, обозначим через __ ее расстояние до полюса и назовем __________________. Угол, на который нужно повернуть полярную ось , чтобы она совпала с обозначим через __ и назовем ______________________.

Определение 5.2

__________________________ точки называется ее __________________ _________________________________________________________________

Рассмотрим декартовую прямоугольную систему координат: полюс совпадает с началом, а полярная ось – с положительной полуосью . Здесь . Тогда:

– формулы связи между прямоугольной декартовой и полярной системами координат.

Пример 5.2. – уравнение лемнискаты Бернулли. Записать его в полярной системе координат.

(5.10)

– формула нахождения расстояния от произвольной точки до прямой, заданной уравнением __________________________

5.8. Угол между двумя прямыми

Пусть даны две прямые: ____________________. Тогда

(5.11)

5.9. Кривые второго порядка

Рассмотрим алгебраическое уравнение второй степени относительно и :

(5.12)

,

где , , т.е. одновременно не равны .

Уравнение (5.12) определяет _____________________________________.

5.9.1. Окружность

Определение 5.3

Геометрическое место точек, _________________ от одной точки, называемый __________, называется _________________________.

На плоскости выберем точку , тогда если окружности, то

или

Если , то

– __________________________________ уравнение окружности.

Замечание 5. Если , то окружность стягивается в точку . Если в правой части уравнения (5.13) ( ), то уравнение определяет мнимую окружность.

Равенство (5.12) определяет окружность, если

________________. (*)

Чтобы уравнение (5.12) при условии (*) привести к каноническому виду (5.13), необходимо ___________________________________ относительно и .

Пример 5.3. Уравнение окружности привести к каноническому виду.

Решение.

5.9.2. Эллипс

Определение 5.4

Геометрическое место точек, для каждой из которых __________________ до двух данных точек и , называемых его _____________, есть величина ____________________, называется __________________.

Отметим на оси две точки: , т.е. (___________ __________________). Пусть - произвольная точка эллипса.

________________________ ( ) точки эллипса называются ____________________ ____________________________________________

_______________________

– ______________________________________

Отрезок называется ____________________, отрезок называется ____________________.

Замечание 6. Уравнение (5.14) можно рассматривать и в случае ________, тогда - _______________ и фокусы эллипса ___________________

Замечание 7. В случае, когда ___________, уравнение (5.14) вырождается в ________________с центром в ______________________________________

Если центр эллипса перенести в точку , то уравнение эллипса примет вид:

Замечание 8. Уравнение __________ определяет ____________ эллипс.

Уравнение ____________ определяет ______________.

Алгебраическое уравнение (5.12) определяет эллипс, если

____________. (**)

Пример 5.4. Уравнение эллипса привести к каноническому виду.

Решение.

5.9.3. Гипербола

Определение 5.5

Геометрическое место точек, абсолютная величина __________ каждой из которых до двух данных точек и , называемых его фокусами, есть величина _______________, и называется ____________________, т.е.

(5.15)

– _______________________________

– _________________________________

При построении гиперболы необходимо построить прямоугольник со сторонами __ и __ и провести диагонали, которые и являются __________ (см. рис.).

, – _______________, – ____________________, – _________________, – ________________________.

Если _____, то гипербола называется ___________________, ее уравнение имеет вид:

Замечание 8. Уравнение

(5.16)

определяет гиперболу ______________________________

Гиперболы, определяемые уравнениями (5.15) и (5.16), называются __________________________

Если центр гипербол перенести в точку , то уравнение примет вид:

Замечание 9. Уравнение ___________ определяет ___________________

Можно выяснить при каких коэффициентах уравнение (5.12) будет определять гиперболу или семейство прямых. По аналогии с эллипсом в уравнении (5.12)

__________________ (***)

5.9.4. Парабола

Определение 5.6

______________ называется геометрическое место точек, равноудаленных ___________, называемой _____________ и точки, называемой _________

Пусть дано: ______________________________________

(5.17)

– _________________________________________

Здесь ____________________________________________________________ _____________________________________________________________

Если фокус параболы расположен ____________, то уравнение будет иметь вид: ____________.

– _____________________________________________

Замечание 10. Частные случаи: а) _________________________________

б) ______________________________________________

в) ______________________________________________

Уравнение (5.12) определяет параболу, если ____________. (****)

Дата добавления: 2014-10-17; просмотров: 429; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!