Четырехмерный вектор тока

Теперь, когда у нас получены все слагаемые в выражении для действия, нам надо получить два оставшихся уравнения Максвелла с помощью принципа наименьшего действия. Однако третье уравнение Максвелла

,

которое мы должны получить, содержит ток , а формула для действия написана на языке 4-векторов и 4-тензоров . Поэтому прежде чем получать третье уравнение Максвелла нам следует научиться выражать ток через эти 4-вектора и 4-тензора. Точнее, мы должны выяснить, каким образом записывается ток на языке 4-векторов. Этим сейчас и займемся.

Ради удобства заряды часто рассматривают не как точечные, а как распределенные по пространству. Это распределение описывают плотностью заряда , которая, вообще говоря, есть функция координат и времени. Тогда – это заряд в объеме , а интеграл от плотности по объему есть заряд, находящийся в этом объеме.

При этом, конечно, надо помнить, что в действительности заряды являются точечными, так что плотность равна нулю везде кроме точек, где находятся точечные заряды, а интеграл должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в данном объеме. Поэтому плотность зарядов можно записать с помощью -функций:

, (28.1)

где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а – радиус-вектор заряда .

Заряд частицы, есть по самому своему определению, величина инвариантная, то есть не зависящая от выбора системы отсчета. Напротив, плотность заряда не есть инвариант, – инвариантом является лишь произведение .

Умножим равенство с обеих сторон на :

.

Слева стоит 4-вектор (так как есть скаляр, а –4-вектор). Значить и справа должен стоять 4-вектор. Но есть скаляр, а потому есть 4-вектор. Этот вектор (обозначим его через ) носит название 4-вектора плотности тока:

. (28.2)

Три его пространственные компоненты образуют трехмерную плотность тока

; (28.3)

есть скорость заряда в данной точке. Временная же составляющая 4-вектора (28.2) есть . Таким образом, 4-вектор плотности тока есть

. (28.4)

Мне пока не понятно, нужен ли нам этот кусок. На всякий случай привожу его.

Полный заряд, находящийся во всем пространстве, равен интегралу по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырехмерном виде:

, (28.5)

где интегрирование производится по всей четырехмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси (очевидно, что это и означает интегрирование по трехмерному пространству). Вообще, интеграл , взятый по любой гиперповерхности, есть сумма зарядов, мировые линии которых пересекают эту гиперповерхность.

Введем 4-вектор тока в выражение (27.7) для действия и преобразуем второй член в этом выражении. Введя вместо точечных зарядов непрерывное распределение с плотностью , напишем этот член в виде

,

Заменив сумму по зарядам интегралом по всему объему. Переписав его как

,

мы видим, что этот член равен

.

Таким образом, действие принимает вид

. (28.6)

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 259; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!