Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности – это математическая формулировка фундаментального закона физики – закона сохранения заряда. Этот закон более фундаментален, чем классическая электродинамика, описанию которой в основном посвящен этот курс лекций. Нарушение закона сохранения заряда не наблюдалось никогда. Даже в квантовой электродинамике закон сохранения заряда выполняется. Разумеется, уравнения, используемые нами в классической электродинамике, должны не противоречить этому фундаментальному закону. Ниже мы покажем, что формальное выражение закона сохранения заряда, то есть уравнение непрерывности, естественным образом вытекает из уравнений Максвелла. Однако из этого совершенно не следует подчиненное значение этого закона к уравнениям Максвелла. Если бы эти уравнения противоречили уравнениям Максвелла, то эти уравнения следовало бы выбросить в первую очередь. Сам же по себе закон сохранения заряда формулируется очень просто: заряд из ничего не возникает и не исчезает. Уменьшение (увеличение) заряда в некоторой области означает, что в какой-то другой области заряд увеличился (уменьшился).

Пусть в некоторой области объемом плотность заряда описывается функцией . Тогда заряд, находящийся в этой области, равен . Поскольку плотность зависит от времени, то и заряд также зависит от времени. Изменение заряда в области за время равно . Допустим, что заряд уменьшается, то есть . Это означает, что заряд из области уходит в другую область. Понятно, что этот переход происходит через поверхность области. Следовательно, поток заряда через поверхность, ограничивающую область, положителен. Как принято, считаем, что нормаль к поверхности во всех ее точках направлена наружу области. Поэтому положительный поток заряда через всю поверхность области дается интегралом где – линейная скорость заряда в некоторой точке на поверхности. За время через такую поверхность уйдет заряда . Приравняем убыль заряда в области его потоку через поверхность за время :

. (29.1)

Обозначив плотность тока как , получим:

. (29.2)

Если к правой части применить теорему Гаусса, то это же уравнение примет вид

.

Поскольку это равенство должно выполняться при интегрировании по любому объему, то подынтегральное выражение должно быть равно нулю:

. (29.3)

Это и есть уравнение непрерывности в дифференциальной форме.

В четырехмерном виде уравнение непрерывности (29.3) выражается равенством нулю 4-дивергенции 4-вектора тока:

. (29.4)

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 303; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!