Вторая пара уравнений Максвелла

При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего действия мы должны считать заданным движение зарядов и должны варьировать только потенциалы поля (играющие здесь роль координат системы); при нахождении уравнений движения мы, наоборот, считали поле заданным и варьировали траекторию частицы.

Поэтому вариация первого члена в (28.6) равна теперь нулю, а во втором не должен варьироваться ток . Таким образом,

(при варьировании во втором члене учтено, что ). Подставляя выражение для

,

имеем:

.

Во втором члене меняем местами индексы и , по которым производится суммирование, и, кроме того, заменяем на . Тогда мы получим:

.

Второй из этих интегралов берем по частям, то есть применяем теорему Гаусса:

. (30.1)

Во втором члене мы должны взять его значение на пределах интегрирования. Пределами интегрирования по координатам является бесконечность, где поле исчезает. На пределах же интегрирования по времени, то есть в заданные начальный и конечный моменты времени, вариация потенциалов равна нулю, так как по смыслу принципа наименьшего действия потенциалы в эти моменты заданы. Таким образом, второй член в (30.1) равен нулю, и мы находим:

.

Ввиду того, что по смыслу принципа наименьшего действия вариации произвольны, нулю должен равняться коэффициент при , то есть

. (30.2)

Перепишем эти четыре уравнения в более привычной для нас трехмерной форме. При имеем:

.

Подставляя значения составляющих тензора (матричных элементов), находим:

.

Вместе с двумя следующими уравнениями они могут быть записаны как одно векторное:

, (30.3)

Наконец, уравнение с дает:

. (30.4)

Уравнения (30.3) и (30.4) и составляют искомую вторую пару уравнений Максвелла. Вместе с первой парой, они вполне определяют электромагнитное поле и являются основными уравнениями теории таких полей – электродинамики.

Напишем эти уравнения в интегральной форме. Интегрируя (30.4) по некоторому объему и применяя теорему Гаусса

,

находим:

. (30.5)

Таким образом, поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в объеме, ограниченном этой поверхностью, умноженному на .

Интегрируя (30.3) по некоторой незамкнутой поверхности и применяя теорему Стокса

,

находим:

(30.6)

Величину

(30.7)

называют током смещения. Из (30.6), написанного в виде

, (30.8)

видно, что циркуляция магнитного поля по некоторому контуру равна помноженной на сумме токов истинного и смещения, протекающих сквозь поверхность, ограничиваемую этим контуром.

Теперь докажем, что это уравнение следует из уравнений Максвелла. Действительно, взяв дивергенцию от обеих частей третьего уравнения Максвелла (30.3)

, (30.3)

получаем:

.

Однако и четвертое уравнение Максвелла (30.4)

(30.4)

позволяют переписать это соотношение в виде (29.3). То есть уравнение непрерывности следует из третьего и четвертого уравнений Максвелла.

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 249; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!