К каноническому виду

Преобразование многомерных автоматических систем

Лекция 2

Каталоги и путь к файлу

Рассмотрим для примера структуру дискового пространства системы FAT, как самой простой.

Информационная структура дискового пространства - это внешнее представление дискового пространства, ориентированное на пользователя и определяемое такими элементами, как том (логический диск), каталог (папка, директория) и файл. Эти элементы используются при общении пользователя с операционной системой. Общение осуществляется с помощью команд, выполняющих операции доступа к файлам и каталогам.

Наиболее общей формой описания автоматической системы является нормальная (или стандартная) форма, например

. (2.1)

В развернутом векторно-матричном виде описание (2.1) выглядит следующим образом

В скалярном виде описание автоматической системы (2.1) выглядит

Условия полной управляемости и полной наблюдаемости системы (2.1) следующие

, .

Структура системы (структурная математическая модель) представлена на рисунке 2.1

Рисунок 2.1 – Структурная математическая модель системы (2.1)

В тех случаях, когда собственные числа матрицы состояния вещественные и различные, система (2.1) может быть преобразована к каноническому виду

, (2.2)

где - диагональная матрица Жордана (Camille Jordan, 1838 - 1922).

В развернутом векторно-матричном виде описание (2.2) выглядит следующим образом

В скалярном виде описание автоматической системы выглядит следующим образом

Если система (2.1) обладает свойством полной управляемости, то .

Если система (2.1) обладает свойством полной управляемости, то .

Структура системы (2.2) представлена на рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Структурная математическая модель системы (2.2)

2.1. Метод преобразования с помощью присоединенной матрицы. Преобразование системы вида (2.1), структура которой представлена на рисунке 2.1, к системе вида (2.2), структура которой представлена на рисунке 2.2, можно осуществить линейным преобразованием , , при этом , , , , где матрица получается на основе (присоединенной матрицы). При этом столбцы матрицывыбираются пропорционально произвольному столбцу матрицы , .

Пример 2.1.1. Рассмотрим систему (2.1) при .

. (2.3)

В структурном виде система (2.3) представлена на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Структура системы (2.3)

Система обладает свойством полной управляемости, если

.

Система обладает свойством полной наблюдаемости, если

.

Линейным преобразованием , приведем систему к виду

(2.4)

со структурой представленной на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 – Структура преобразованной системы (2.3) в общем виде

Матрица , при: а) и б), где (при этом ) - собственные числа матрицы , будет иметь соответственно вид:

а), б). (2.4)

Выбрав, например, первый столбец матрицы пропорционально первому столбцу матрицы (2.4-а), второй – пропорционально второму столбцу матрицы (2.4-б), получим матрицу канонического преобразования

, , (2.5)

где – любые вещественные числа (не нулевые).

В преобразованном виде система (2.3) соответствует описанию (2.2) при со структурой, представленной на рисунке 2.4. Элементы матриц и определяются в соответствии с преобразованием, , .

Допустим элементы матрицы состояния имеют следующие числовые значения: , тогда характеристический полином системы:

.

Собственные числа матрицы состояния (корни характеристического полинома): , и соответственно

,

,

,

.

Если система обладает свойством полной управляемости, то и , или:

и .

Если система обладает свойством полной наблюдаемости, то и , или:

и .

Структура преобразованной системы (2.3) при представлена на рисунке 2.5.

Рисунок 2.5 – Структура преобразованной системы (2.3) при и ,

Пример 2.1.2.Допустим система (2.3) задана следующим описанием

. (2.6)

Структурный вид системы (2.6) представлен на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6 – Структура системы (2.6)

Система не обладает свойством полной наблюдаемости:

Система обладает свойством полной управляемости:

Преобразованием , приведем систему к каноническому виду (2.4)

Собственные числа матрицы состояния: , .

Матрицу канонического преобразования получим на основе , при и .

, .

Элементы матриц и :

, .

Каноническая форма исходной системы (развернутая векторно-матричная запись):

, где

.

Структурный вид записи приведенной к канонической форме системы (2.6) представлен на рисунке 2.7.

Рисунок 2.7 – Структура преобразованной системы (2.6)

Пример 2.1.3 Допустим система (2.3) задана следующим описанием

. (2.7)

Скалярный вид записи системы:

Структурный вид записи:

Рисунок 2.8 – Структура системы (2.7)

Система обладает свойством полной наблюдаемости. Система не обладает свойством полной управляемости:

.

Преобразуем систему (2.7) с помощью матрицы , полученной на основе . При этом столбцы матрицы будут выбираться пропорционально произвольному столбцу матрицы ,

Характеристическое уравнение системы (2.7) ;

Собственные числа матрицы (корни характеристического уравнения), .

а), б).

Выбрав, например, первый столбец матрицы пропорционально первому столбцу матрицы (а), второй – пропорционально второму столбцу матрицы (б), где - коэффициенты пропорциональности. В результате получим матрицу канонического преобразования

, .

С учетом того, что , . получим

, .

Выбрав , , получим матрицу канонического преобразования

, .

Элементы матриц и :

, .

Каноническая форма исходной системы (развернутая векторно-матричная запись):

, где

.

Структурный вид записи приведенной к канонической форме системы (2.7) представлен на рисунке 2.6.

Рисунок 2.9 – Структура преобразованной системы (2.7)

Дата добавления: 2014-02-27; просмотров: 637; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!