К каноническому виду. Преобразование многомерных автоматических систем

Преобразование многомерных автоматических систем

Лекция 3

Наиболее общей формой описания автоматической системы является нормальная (или стандартная) форма, например

. (3.1)

В развернутом векторно-матричном виде описание (3.1) выглядит следующим образом

В скалярном виде описание автоматической системы (3.1) выглядит

Условия полной управляемости и полной наблюдаемости системы (3.1) следующие

, .

Структура системы (структурная математическая модель) представлена на рисунке 3.1

Рисунок 3.1 – Структурная математическая модель системы (3.1)

В тех случаях, когда собственные числа матрицы состояния вещественные и различные, система (3.1) может быть преобразована к каноническому виду

, (3.2)

где - диагональная матрица Жордана (Camille Jordan, 1838 - 1922).

В развернутом векторно-матричном виде описание (3.2) выглядит следующим образом

В скалярном виде описание автоматической системы выглядит следующим образом

Если система (3.1) обладает свойством полной управляемости, то .

Если система (3.1) обладает свойством полной управляемости, то .

Структура системы (3.2) представлена на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 – Структурная математическая модель системы (3.2)

3.1. Метод преобразования с помощью матрицы Вандермонда. Часто система в стандартной форме задана матрицей состояния определенного вида – матрицей Фробениуса (Georg Frobenius, 1849 - 1917)

. (3.3)

В этом случае столбцы матрицы можно выбрать пропорционально столбцам матрицы Вандермонда (Alexandre Theophile Vandermonde, 1735 - 1796)

, (3.4)

где - собственные числа матрицы ; - коэффициенты - любые вещественные числа (за исключением нуля).

Пример 3.1.1Допустим, система (3.1) с матрицей состояния (3.3) при задана в следующем виде

, (3.5)

В структурном виде система (3.5) представлена на рисунке 3.3

Рисунок 3.3 – Структура системы (3.5)

Система (3.5) всегда полностью наблюдаема. Для полной управляемости системы необходимо выполнение условия: .

Поскольку матрица состояния системы соответствует матрице (3.3) применим преобразование системы к каноническому виду (3.2), основанное на использовании матрицы Вандермонда (3.4) при .

, .

Допустим в (3.5) , , тогда корнями характеристического уравнения являются , .

Получим матрицу канонического преобразования

, .

В результате получим систему вида (3.2)

, (3.6)

где элементы матриц , определяются в соответствии с преобразованием, как

,

.

Структура преобразованной системы (3.6) представлена на рисунке 3.4.

Рисунок 3.4 – Структура преобразованной системы (3.6)

Если система обладает свойством полной управляемости, то и , или:

и .

Поскольку система всегда обладает свойством полной наблюдаемости, и .

Пример 3.1.2 Допустим, в системе (3.5) , , , , .

, (3.7)

Скалярный вид записи системы:

Структурный вид записи:

Рисунок 3.5 – Структура системы (3.7)

Система обладает свойством полной наблюдаемости. Система не обладает свойством полной управляемости:

.

Преобразованием , приведем систему (3.7) к каноническому виду

. (3.8)

Для определения собственных чисел , матрицы определим характеристический полином

. (3.9)

Собственные числа матрицы состояния (или корни характеристического полинома (3.9)): , .

Матрицу канонического преобразования получим на основе матрицы Вандермонда

,

при этом

; ,

; ,

,

Признаком того, что система не обладает свойством полной управляемости является .

.

Признаком того, что система обладает свойством полной наблюдаемости является: и .

Структура преобразованной системы представлена на рисунке 3.6.

Рисунок 3.6 – Структура преобразованной системы (3.8)

Дата добавления: 2014-03-11; просмотров: 473; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!