Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделенными переменными

В общем виде дифференциальное уравнение 1-го порядка можно записать как равенство F(x, y, y′) = 0

Дифференциальное уравнение вида f(x)dx = g(y)dy называют уравнением с разделёнными переменными.

Пример. Найти общее решение уравнения xdx+ydy=0

Решение.

Разделим переменные, запишем уравнение в виде xdx = -ydy

Проинтегрируем обе части уравнения, получим

, или , или , .

3.Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющими переменными.

Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида h(x)g(x) dx -

Чтобы привести это уравнение к уравнению с разделенными переменными достаточно разделить его на произведение

Пример. Найти общее решение уравнения y' = 3x – 1

Решение.

Представим производную у' как . Уравнение примет вид

Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на dx. Полученное равенство проинтегрируем:

Ответ: - общее решение.

Пример. Найти решение уравнения y'+y-1=0.

Решение.

Запишем уравнение в виде: y' = 1 –y. Представим производную у' как .

Уравнение примет вид Умножим уравнение на dx и разделим на 1-y≠0. Получим уравнение с разделенными переменными:

Найдём интегралы от обеих частей равенства:

или

Ответ: -решение дифференциального уравнения.

Пример. Найти общий интеграл (общее решение) уравнения

Вынесем за скобки общие множители:

Теперь разделим обе части уравнения на (y²∙x²) и сократим на x² и y²:

Получаем

Проинтегрируем обе части отдельно:

Общий интеграл (решение) уравнения имеет вид:

Преобразуем по свойству логарифмов и получим:

Ответ: -решение уравнения.

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 383; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!