Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка

К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся и так называемые однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Определение. Уравнение вида называется однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Такое уравнение подстановкой сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.

Разделим правую часть уравнения (числитель и знаменатель) на x². Получим уравнение .

Выполним подстановки или в дифференциальной форме . После этого уравнение примет вид:

Перенесем t в правую часть и приведём дроби к общему знаменателю, то есть

По основному свойству пропорции можно записать . Разделим обе части уравнения на (t³∙x) и получим или .

Проинтегрируем обе части равенства:

Выполним обратную подстановку и получим общее решение дифференциального уравнения. Так как y = xt, то .

Выразим Cy, получим

Ответ:

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 514; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!