П.1. Испытания с неоднозначным исходом

КУРС ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

Лектор:

Хованов Николай Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1.Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. 6-е изд. СПб.: Лань, 2006. – 256 c.

2.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. 10-е изд. М.: Академия, 2007. – 573 c.

3.Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 8-е изд. М.: Едиториал УРСС, 2005. - 448 с.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

1.Бродский Я.С. Статистика. Вероятность. Комбинаторика. М.: Мир, 2008. – 544 с.

2.Вербик М. Путеводитель по современной эконометрике. М.: Научная книга, 2008. – 374 с. 3.Хованов Н.В. Математические модели риска и неопределенности. СПб.: СПбГУ, 1998. – 171 с.

Санкт-Петербург

Введение. Представление о случайном испытании

П.1. Испытания с неоднозначным исходом

Для понимания теории вероятностей и её специфической части, – математической статистики, – необходимо иметь в виду не только комплекс математических схем, используемых в этой науке, но и совокупность явлений, для описания которых и предназначены указанные математические схемы.

В процессе применения методов теории вероятностей для описания реальных явлений сформировалось понятие «случайное испытание» (синонимами для слова «испытание» в нашем контексте являются слова «опыт», «эксперимент», «наблюдение»). Как и всякое, достаточно общее научное понятие, претендующее, к тому же, на адекватное описание сущности обширного класса довольно разнородных наблюдаемых явлений, понятие случайного испытания не может быть непосредственно сформулировано в виде однозначного и исчерпывающего формального определения. Поэтому нам придется строить понятие «случайное испытание» поэтапно, давая на каждом этапе наглядные интерпретации построенных фрагментов этого понятия.

Обычно говорят, что случайное испытание состоит в фиксации некоторого комплекса начальных условий с последующим наблюдением элементарного (т.е. далее не делимого) исхода из некоторого фиксированного множества всех возможных элементарных исходов . Предполагается, что в результате проведения случайного испытания имеет место один и только один элементарный исход .

Необходимым, но не достаточным, условием случайности проводимого испытания является неоднозначность определения исхода по заданному комплексу начальных условий – результатом испытания может быть любой элементарный исход из множества . Такие испытания мы будем называть недетерминированными или испытаниями с неоднозначным исходом.

Для интерпретации введенных терминов (комплекс начальных условий , элементарный исход , множество элементарных исходов ) приведем ряд примеров недетерминированных испытаний.

1.Простейшая «игра в орлянку» состоит в бросании монеты на ровную поверхность с последующим определением того, какая сторона монеты (аверс или реверс) оказалась сверху. Комплекс начальных условий – правила «честной игры». Множество элементарных исходов – .

2.Простейший вариант «игры в кости» состоит в бросании кубика («кости») на ровную поверхность с последующим определением того, какая из шести сторон кубика оказалась сверху. Комплекс начальных условий – правила «честной игры». Множество элементарных исходов – .

3.Простейший вариант «игры в лотерею» состоит в вытаскивании из некоторого контейнера, традиционно называемого «урной», одного из находящихся в этом контейнере предметов (традиционно – «шаров») с последующим определением наличия у выбранного предмета (шара) определенной характеристики. Комплекс начальных условий – правила «честной игры». Если каждый шар имеет уникальную характеристику, однозначно выделяющую его среди других шаров, то множество элементарных исходов – , где n – число всех шаров, содержащихся в урне. Если же некоторые шары полагаются неразличимыми, то в качестве элементарного исхода испытания, состоящего в выборе шара из урны, можно считать выбор шара данного типа, определяемого значениями некоторой характеристики. Например, если в урне лежат только белые и черные шары, то простейшая лотерея имеет своими элементарными исходами выбор белого шара ( ) и выбор черного шара ( ), т.е. в этом случае .

4.Процедура измерения является, по сути дела, процессом приписывания измеряемому объекту некоторого действительного числа, указывающего интенсивность измеряемого качества у данного объекта. Иными словами, результат числового измерения состоит в указании определенного элемента из некоторого фиксированного подмножества множества всех действительных чисел . Иными словами, . Удобно пользоваться геометрической интерпретацией множества , сопоставляющей каждому элементарному исходу определённую точку на прямой . Комплекс начальных условий , соответствующий недетерминированному испытанию «измерение», представляет собой описание «правил измерения» соответствующей величины.

5.Если производится числовое измерение сразу нескольких параметров (или многократное измерение одного и того же параметра) исследуемых объектов, то результатом такого измерения является вектор , компоненты которого суть действительные числа , . Введем общее понятие декартова произведения множеств , : . Множество векторов действительных чисел можно представить в виде n-кратного декартова произведения множества действительных чисел на самого себя: . Множество всех элементарных исходов недетерминированного испытания, состоящего в совместном измерении нескольких параметров, есть подмножество декартова произведения : . Удобно пользоваться геометрической интерпретацией множества, сопоставляющей каждому элементарному исходу определённую точку в n-мерном пространстве . Комплекс начальных условий , соответствующий недетерминированному испытанию «измерение нескольких параметров» (или «многократное измерение одного параметра»), представляет собой описание «правил измерения» соответствующих величин.

Итак, каждая реализация недетерминированного испытания описывается комплексом начальных условий , результатом осуществления которых появляется один и только один элементарный исход из непустого множества ( ) всех возможных элементарных исходов. Символически такую реализацию испытания с неоднозначным исходом можно изобразить так: .

Отвлекаясь от реальных возможностей исследователя, предположим, что он может неограниченное число раз воспроизводить комплекс начальных условий некоторого недетерминированного испытания. Принятие такой абстракции неограниченного воспроизведения комплекса начальных условий недетерминированного испытания (т.е. абстракции неограниченного воспроизведения этого испытания) заставляет нас различать само недетерминированное испытание и его конкретную реализацию .

Недетерминированное испытание представляет собой абстрактное понятие, описываемое (на данном этапе рассмотрения) всеми возможными реализациями , , одного и того же комплекса начальных условий , дающими элементарные исходы из множества . В отличие от недетерминированного испытания , понимаемого в указанном абстрактном смысле и принципиально ненаблюдаемого, его конкретная реализация полностью описывается реально наблюдаемым элементарным исходом. Например, недетерминированное испытание «бросание монеты на ровную поверхность» описывается комплексом правил «честной игры в орлянку» и множеством элементарных исходов , а конкретная реализация этого испытания даёт или исход , или исход .

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 174; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!