П.2. Системы событий

Помимо фиксации комплекса начальных условий и множества элементарных исходов , описание недетерминированного испытания включает в себя еще и задание системы событий, доступных наблюдению и представляющих интерес для исследователя. На данном этапе построения понятия случайного испытания, роль события может играть любое подмножество множества элементарных исходов . Класс (систему) всех подмножеств множества , т.е. класс всех событий, обозначим символом . Вводится ещё одна абстракция, состоящая в предположении, что исследователь всегда может выделить любое подмножество множества , состоящее из событий, которые он хочет сделать предметом рассмотрения. Такая система событий, представляющих интерес для исследователя, есть подмножество класса всех подмножеств множества элементарных исходов: ). Здесь , суть заглавные латинские буквы , соответственно, написанные готическим шрифтом.

Прибегнуть к готическому шрифту нас вынуждает желание четко разделять теоретико-множественные объекты разных уровней: элементы множеств мы обычно будем обозначать строчными греческими и латинскими буквами (например, , ), множества, являющиеся подмножествами множества элементарных исходов (т.е., события) – заглавными латинскими буквами (например, , , ), а множества (классы, системы) подмножеств множества – заглавными латинскими буквами, написанными готическим шрифтом. Введенные теоретико-множественные объекты трех разных уровней связаны между собой отношениями «принадлежности» элемента множеству ( ) и «включения» множеств (строгого и нестрогого ): , , .

Рассмотрим различные системы событий, представляющих интерес для исследователя, используя разобранные в предыдущем пункте примеры недетерминированных испытаний.

1.Испытание «игра в орлянку» описывается двухэлементным множеством элементарных исходов ( – выпадение «орла», – выпадение «решетки»). Понятно, что и игрока, и исследователя в данном случае интересуют всего два доступных наблюдению события – событие , состоящее в выпадении «орла», и событие , состоящее в выпадении «решетки». Поскольку мы определили события, как подмножества множества элементарных исходов ( , ), постольку указанные события могут быть определены как , , а само множество интересующих исследователя событий – как .

Здесь следует обратить внимание на различный теоретико-множественный статус, с одной стороны, подмножеств , множества и, с другой стороны, элементов , этого множества. Различие между этими математическими объектами определяется их отношениями друг с другом и с множествами , : , , , . Закрепим выявленное отличие одноэлементных подмножеств множества элементарных исходов от элементов терминологически: будем называть одноэлементные множества элементарными событиями в отличие от ранее определенных элементарных исходов .

2.При игре в «кости» имеется гораздо больше вариантов задания множества интересующих исследователя событий, чем при игре в «орлянку». Например, можно составить множество из двух событий, состоящих в выпадении нечетного и четного числа очков соответственно: . Другой пример множества можно получить, положив, что оно состоит из всех элементарных событий, порождаемых элементарными исходами испытания «бросание кубика на ровную поверхность»: . Можно в качестве множества взять множество всех подмножеств множества . Так определенное множество содержит, помимо множеств , , шесть одноэлементных, пятнадцать двухэлементных, двадцать трехэлементных, пятнадцать четырехэлементных и шесть пятиэлементных подмножеств множества . Таким образом, множество событий, интересующих исследователя, состоит в этом случае из элементов.

3.В общем же случае, когда конечное множество элементарных исходов состоит из элементов, класс всех подмножеств этого множества (т.е. класс всех возможных событий), включая пустое множество и само множество , состоит из элементов. Рассмотренный общий случай, когда система событий, интересующих исследователя, состоит из всех подмножеств множества элементарных исходов, соответствует испытанию «лотерея», которое, как уже было отмечено, может играть роль универсальной модели для недетерминированных испытаний с конечным числом исходов.

4.Если исходами недетерминированного испытания служат все действительные числа, то, как было отмечено в предыдущем пункте, множество элементарных исходов такого испытания совпадает с прямой линией . В этом случае интересующими исследователя событиями обычно считаются подмножества множества действительных чисел, имеющие вид отрезка (для определенности, полуоткрытого справа отрезка): . То есть, можно отождествлять множество всех интересующих исследователя событий с системой всех полуоткрытых отрезков прямой линии ( – заглавная латинская буква , записанная готическим шрифтом). Заметим, что бесконечное множество включает в себя пустое множество (если ), и дополнительно включим в него само множество элементарных исходов , и бесконечные «лучи» вида и , лежащие на прямой.

5.Если элементарными исходами недетерминированного испытания служат векторы , то обычно исследователи выделяют события, представляющие собой n-кратные декартовы произведения («многомерные прямоугольники») полуоткрытых отрезков: . Заметим, что множество включает в себя пустое множество (если для какого-нибудь ), и дополнительно включим в него само множество элементарных исходов , и бесконечные n-мерные прямоугольники.

Для интерпретации событий, отождествляемых с подмножествами множества элементарных исходов данного недетерминированного испытания, постулируется следующий принцип осуществления событий: событие , , осуществляется (происходит, реализуется) при конкретной реализации недетерминированного испытания тогда и только тогда, когда осуществляется элементарный исход , являющийся элементом множества . Если, используя традиционную терминологию, назвать все элементарные исходы, входящие в множество , исходами, «благоприятствующими» событию , то принцип осуществления событий можно переформулировать следующим образом: некоторое событие осуществляется при конкретной реализации недетерминированного испытания тогда и только тогда, когда осуществляется элементарный исход, благоприятствующий данному событию.

Итак, на данном этапе развития наших представлений недетерминированное испытание формально описывается парой математических объектов – множеством элементарных исходов этого испытания и системой событий, интересующих исследователя. Содержательное же описание недетерминированного испытания включает задание комплекса начальных условий и представление о неограниченном множестве конкретных реализаций этого испытания.

Так как события, связанные с некоторым недетерминированным испытанием , отождествляются с подмножествами множества элементарных исходов данного испытания, то можно попытаться дать теоретико-вероятностную интерпретацию этим событиям и теоретико-множественным операциям над ними в рамках концепции недетерминированного испытания.

Начнем с двух крайних случаев – с пустого подмножества множества элементарных исходов и с самого множества элементарных исходов . Поскольку ни один из элементарных исходов не благоприятствует событию, связанному с пустым множеством, постольку это событие не имеет места ни при какой реализации испытания . Поэтому вполне мотивированным является термин «невозможное событие», употребляемый для обозначения события . Так как событию благоприятствует любой элементарный исход , то это событие происходит при любой реализации случайного испытания , что объясняет название «достоверное событие», используемое для обозначения события . Заметим, что для любого события имеет место соотношение .

Рассмотрим сначала одноместную операцию , сопоставляющую событию его «дополнение» , определяемое как множество, состоящее из тех и только тех элементов , которые не входят во множество . Так определенная операция взятия дополнения является частным случаем ( ) двуместной операции взятия разности множеств и , определяемой требованием, чтобы множество состояло из тех и только тех элементов множества , которые не входят в множество . Из принципа осуществления событий и данного определения операции взятия дополнения следует, что, если произошло событие , то в той же реализации недетерминированного испытания невозможно осуществление события . Верно и обратное – если произошло событие , то в той же реализации испытания не может произойти событие . Таким образом, событие происходит тогда и только тогда, когда не происходит события . Поэтому дополнение события называют «противоположным событием» (по отношению к событию ).

Рассмотрим теперь двуместную операцию «пересечения множеств» и , определяемую тем условием, что в множество , равное «пересечению» указанных множеств (обозначается ) входят те и только те элементы множества , которые одновременно входят и в множество , и в множество : (символ « » обозначает логическую связку «и»). Когда произойдет событие ? Так как и , то из осуществления события следует одновременное осуществление событий . С другой стороны, одновременное осуществление событий означает, что соответствующий недетерминированный эксперимент закончился элементарным исходом , который принадлежит и множеству , и множеству , что означает, в свою очередь, его принадлежность пересечению . Таким образом, событие происходит тогда и только тогда, когда совместно осуществляются события и . События и , имеющие пустое пересечение ( ), естественно назвать несовместными событиями, так как их совместное осуществление является невозможным событием. Заметим, что все элементарные (одноэлементные) события попарно несовместны: для любых , .

Полученную теоретико-вероятностную интерпретацию пересечения двух подмножеств множества элементарных исходов можно распространить на операцию пересечения любого (конечного или бесконечного) числа подмножеств множества . Действительно, определим пересечение произвольной системы множеств условием, что во множество входят те и только те элементы множества , которые одновременно входят во все множества . Очевидно, что событие происходит тогда и только тогда, когда совместно осуществляются все события из множества .

Рассмотрим теперь двуместную операцию «объединения множеств» и , определяемую тем условием, что во множество , равное «объединению» указанных множеств (обозначается ) входят те и только те элементы множества , которые входят или во множество , или во множество (т.е. эти элементы входят, по крайней мере, в одно из рассматриваемых множеств): (символ « » обозначает логическую связку «или»). Когда произойдет событие ? Так как и , то из осуществления события или события следует осуществление события . С другой стороны, осуществление события означает, что соответствующий недетерминированный эксперимент закончился элементарным исходом , который принадлежит, по крайней мере, одному из множеств , . Таким образом, событие происходит тогда и только тогда, когда осуществляется, по крайней мере, одно из событий , .

Полученную теоретико-вероятностную интерпретацию объединения двух подмножеств множества элементарных исходов можно распространить на операцию объединения любого (конечного или бесконечного) числа подмножеств множества . Действительно, определим объединение произвольной системы множеств условием, что в множество входят те и только те элементы множества , которые входят по крайней мере в одно множество . Очевидно, что событие происходит тогда и только тогда, когда осуществляется по крайней мере одно событие из множества событий .

К рассмотренным трем теоретико-множественным операциям (взятие дополнения, пересечения и объединения) в определенном смысле сводится любая -местная операция , сопоставляющая набору множеств , , , множество . А именно, для любой операции имеет место представление

,

(1)

где ( ) есть или , или .

При изучении системы событий, доступных наблюдению и представляющих интерес для исследователя, весьма удобно, когда эта система замкнута относительно всех возможных теоретико-множественных операций , т.е. когда из того, что множества принадлежит системе , следует, что и множество принадлежит этой же системе при любой теоретико-множественной операции . Поскольку, как это следует из представления (1), любая -местная операция сводится к суперпозиции операций дополнения, пересечения и объединения множеств, постольку замкнутость системы относительно любых операций над конечным числом подмножеств множества эквивалентна замкнутости этой системы относительно трех указанных простейших операций. Это позволяет сформулировать требование замкнутости системы относительно любых операций над конечным числом подмножеств множества в виде следующих условий, учитывающих очевидные соотношения , .

. .

(2)

. .

(3)

. .

(4)

. .

(5)

. .

(6)

Встречающаяся в формулах (4)-(5) запись означает, что из утверждения логически следует утверждение , а выражение , содержащее логический «квантор всеобщности» , читается как «для любого элемента множества ».

Систему событий , удовлетворяющую условиям (2)-(6) называют алгеброй событий и обозначают ( - латинская буква , записанная готическим шрифтом). Т.е., условия (2)-(6) можно рассматривать как аксиомы, определяющие алгебру событий (алгебру подмножеств множества элементарных исходов ).

Для решения ряда важных технических задач теории вероятностей приходится использовать не только конечные пересечения и объединения событий, но и аналогичные операции над счетными бесконечными множествами событий. Поэтому далее мы будем предполагать, что для системы доступных наблюдению и интересующих исследователя событий выполняются соотношения

. ,

(7)

. ,

(8)

где множество индексов предполагается не более чем счетным.

Выполнение соотношений (2), (3), (4), (7), (8) можно описать словами, сказав, что система событий замкнута относительно операций пересечения и объединения не более чем счетных множеств событий. Такая система событий называется «сигма-алгебра» (« -алгебра») и обозначается . Иными словами, сигма-алгебра событий (подмножеств множества элементарных исходов ) определяется пятью аксиомами .

Нетрудно привести примеры тривиальных -алгебр: , . Понятно, что -алгеброй является и любая алгебра , состоящая из конечного числа элементов, так как любые бесконечные пересечения и объединения элементов такой алгебры содержат конечные множества попарно неравных членов по причине выполнения очевидных соотношений , . Для построения же нетривиального примера -алгебры нам понадобится понятие -алгебры, порожденной системой подмножеств множества . Такая порожденная -алгебра определяется как минимальная -алгебра, содержащая данную систему . То есть для предполагается выполнение двух утверждения: 1) есть -алгебра; 2) если некоторая -алгебра содержит систему ( ), то она также содержит и -алгебру ( ). Математик легко докажет нам, что для любой непустой системы подмножеств множества существует единственная -алгебра , порожденная этой системой подмножеств.

Рассмотрим теперь систему всех полуоткрытых интервалов действительной прямой , которую обычно отождествляют с классом всех интересующих исследователя событий при рассмотрении случайных испытаний, определяющих случайные величины. Минимальная -алгебра , содержащая класс , называется системой борелевских множеств на прямой и обозначается . Борелевские множества, названные так в честь известного французского математика Эмиля Бореля (1871-1956), включают в себя различные типы множеств. Например, среди элементов множества находятся все конечные открытые, полуоткрытые и замкнутые интервалы ( , , , ), все бесконечные интервалы ( , , . ), все открытые и все замкнутые подмножества действительной прямой, все не более чем счетные пересечения и объединения всех упомянутых выше множеств, все одноэлементные подмножества (т.е. все элементарные события вида , ) и т.д. Иными словами, класс является достаточно нетривиальной системой событий, хотя он и однозначно порождается простой системой всех возможных полуоткрытых интервалов прямой.

Когда случайное испытание соответствует некоторой -мерной случайной величине, принимающей значения из -мерного евклидова пространства , то интересными для исследователя считается класс всех полуоткрытых -мерных прямоугольных множеств . Этот класс однозначно порождает -алгебру борелевских подмножеств множества элементарных исходов . Построенный класс борелевских подмножеств -мерного евклидова пространства может служить еще одним примером нетривиальной -алгебры событий.

Таким образом, на данном этапе развития наших представлений о случайном испытании оно формально описывается парой ) математических объектов – множеством элементарных исходов и -алгеброй событий (подмножеств множества элементарных исходов), порожденной, вообще говоря, некоторой системой событий, представляющих интерес для исследователя, наблюдающего соответствующий случайный эксперимент. Особо следует отметить, что теперь «событием» мы называем не любое подмножество множества элементарных исходов , но лишь такое множество , которое входит в фиксированную -алгебру . Тот факт, что случайное испытание описывается множеством элементарных исходов и -алгеброй событий будем обозначать составным символом .

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 165; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!