Решение уравнений СМО в среде SIMULINK

Лекция №11

Цель: - уяснить основные методы анализа сложных систем;

Вопросы:

1.Основы квазиукрупнения состояний марковской модели.

2.Решение систем дифференциальных уравнений.

3.Решение систем алгебраических уравнений.

1. Основы квазиукрупнения состояний марковской модели.

Метод укрупнения состояний. Рассмотренный метод частичного укрупнения марковской модели основан на агрегированном представлении отдельных фрагментов структуры самой модели, как схемы взаимодействия заявок и ресурсов. В анализе используется также укрупнение структуры графа переходов марковского процесса, описывающего состояние модели. Такое укрупнение представляет собой объединение в одно макросостояние всех состояний, обладающих некоторым признаком, и запись уравнений относительно вероятностей макросостояний. В теории марковских процессов рассматриваются условия, которым должна удовлетворять структура графа переходов для того, чтобы процесс допускал эквивалентное укрупнение. На практике же часто применяется так называемое квазиэквивалентное укрупнение [З], при котором между вероятностями макросостояний, вычисленными без укрупнения состояний графа, и вероятностями, вычисленными на основе укрупнения, имеет место приближенное равенство.

Укрупнение состояний применяется, в частности, при анализе моделей с неоднородными заявками (например, в случае приоритетных дисциплин, прерывающих обслуживание), моделей, описывающих совместное использование заявкой разнородных ресурсов, а также моделей функциональной надежности, т. е. моделей, предназначенных для оценки характеристик производительности с учетом ненадежности компонентов системы.

Проиллюстрируем применение методов эквивалентного и квазиэквивалентного укрупнения состояний графа переходов марковской модели. Рассмотрим модель, по­казанную на рис. 1.1, но с учетом возможных отказов и восстановления ЭВМ. Допустим, что интервалы безотказной работы и времена ремонта ЭВМ — независимые случайные величины, имеющие экспоненциальные распределения; их средние значения соответственно Т0= 1/a и Тв = 1/b.

Состояние системы в момент времени t описывается вектором x (t) =

(x₁ (t), x₂ (t), где x₁ (t) Î {0,1} - число не­исправных ЭВМ; x₂ (t) Î {0,N) - число задач в очереди и ЭВМ.

Граф переходов марковского процесса x (t) имеет структуру, показанную на рис. 1.12, а. Для системы урав­нений, соответствующей этому графу переходов, написать решение в явном виде не удается. Конечно, можно вос­пользоваться для анализа системы стандартными про­граммами решения систем линейных алгебраических уравнений. Но часто бывает удобно иметь хотя и при­ближенные, но простые алгебраические соотношения, связывающие выходные параметры с внутренними- пара­метрами базисной модели, для предварительной прикид­ки, оценки вариантов, получения зависимостей качест­венного характера. Чтобы получить такие соотношения, проведем квазиэквивалентное укрупнение состояний графа переходов процесса x (t) . Обозначим

а)

б)

в)

Рис. 1.12. Графы переходов

.

Запишем уравнения Колмогорова для стационарного распределения. Сложим уравнения, соответствующие состояниям верхнего ряда графа переходов, а затем урав­нения, соответствующие состояниям нижнего ряда. В итоге имеем два уравнения относительно вероятностей p₀ и p₁, соответствующих укрупненному графу, изобра­женному на рис. 1.12, б, полученному из исходного графа объединением в макросостояния состояний верхнего и нижнего ряда. В данном случае укрупнение состояний является эквивалентным, так как оно соответствует экви­валентному преобразованию исходной системы уравнений относительно стационарных вероятностей.

Укрупненный граф позволяет легко найти коэффициент готовности системы (среднюю долю времени, соответствующую исправному состоянию):

K_г = p₀ = (1 + a /b)^-1 = b / (a + b) = Т₀ / (Т₀ + Т_в ).

Чтобы вывести простые формулы для tp и , можно попытаться укрупнить граф «по вертикали», объединив состояния каждого столбца. Обозначим рi= poi+pii, i= Однако, если сложить соответствующие уравнения Колмогорова для исходного графа, обнаружим, что записанные уравнения кроме стационарных вероятностей макросостояний pi , i = , содержат вероятности исходных состояний:

p0 N l = p1 m ( 1 – p11 p1 ) ;

p1 (( N – 1) l + m (1 – p11 /p1) = p0 N l + p0 N l + p2 m (1 – p12 / p2 ).

Таким образом, укрупнения достичь не удалось. Укрупненный граф можно получить при следующем допущении:

p11 /p1 = p12 /p2 = … = p1N /pN = p1.

Однако соотношения (1.19) выполняются лишь приближенно, поэтому укрупнение графа является квазиэквивалентным. В результате получается система уравнений, соответствующая укрупненному графу, изображен­ному на рис. 1.12, в.

Для рассматриваемой модели квазиэквивалентное укрупнение состояний графа соответствует замене исход­ной модели системы с ненадежной ЭВМ системой с абсо­лютно надежной ЭВМ, имеющей производительность, сниженную в 1/Кг раз. Поэтому выходные параметры можно теперь рассчитывать по формулам (1.4)...(1.8), заменив в них m на КГ m.упрощается.

Дата добавления: 2014-12-09; просмотров: 412; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!