МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ В МЕХАНИКЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Скаляр – физическая величина, характеризуемая только числом (напр., плотность, температура).

Вектор – физическая величина, характеризуемая числом и направлением (напр., сила, скорость, ускорение).

Полем физической величины (скорости, ускорения, давления, плотности, температуры и т.п.) наз. совокупность значений этой величины, однозначно определенных в каждой точке некоторой части пространства.

Поэтому поле скалярной величины наз. скалярным, поле векторной величины – векторным. Непременным условием для векторных величин является то, что они должны складываться по правилу параллелограмма.

Если во всех точках поля величины (скалярные, векторные или иные) имеют одно и то же значение, поле наз. однородным, в противном случае – неоднородным.

Если поле физической величины не изменяется с течением времени, поле наз. стационарным, в противном случае – нестационарным.

При операциях с векторными величинами пользуются понятием орта, под которым понимается единичный вектори в декартовой системе координат будем его обозначать Тогда вектор может быть записан как

,

где - проекции (компоненты) вектора на соответствующие оси координат.

Скалярное произведение двух векторов дает скалярную величину

,

где - угол между векторами.

Отсюда следует, что при взаимно перпендикулярных векторах их скалярное произведение обращается или равно нулю.

Векторное произведение двух векторов есть вектор, который может быть представлен в виде определителя третьего порядка

,

раскрывая который, получим

4.2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛЯ (ОПЕРАЦИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА).

В теории поля рассматриваются три операции первого порядка, которые называются градиентом, дивергенцией и ротором или вихрем. Эти операции позволяют, выполнив определенные действия, превратить:

- скалярную величину в векторную –операция носит название градиент,

- векторную величину в скалярную – операция носит название дивергенция,

- векторную величину в другую векторную величину – операция носит название ротор или вихрь.

Градиент(grad)скалярной функции есть вектор, образующийся в результате выполнения следующих действий

.

Физически градиент есть вектор, в направлении которого функция в данной точке поля изменяется (увеличивается, уменьшается) с наибольшей (максимальной) скоростью.