Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Рассмотрим одноканальную систему массового обслуживания с ожиданием. Пусть входящий поток заявок на обслуживание – простейший поток с интенсивностью l.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Рис.3.4. Граф состояния СМО с неограниченной очередью

Здесь:

l – интенсивность входного потока требований (среднее число заявок на обслуживание, приходящихся на единицу времени).

μ – интенсивность обслуживания (число требований, обслуживаемых в единицу времени).

Состояния:

S₀ – канал свободен;

S₁ – канал занят, очереди нет;

S₂ – канал занят, одна заявка в очереди;

S₃ – канал занят, две заявки в очереди;

S_n – канал занят, n-1 заявка в очереди.

Найдём вероятности p_k:

Для состояния S₀: , отсюда ;

Для состояния S₁: , подставляем полученное значение для p₁: .

Аналогично, для состояния S_k: .

Вероятность p₀ найдём из нормировочного условия :

, – геометрическая прогрессия, при r < 1 сходится. – вероятность того, что нет заявок.

r = l/m – мера загрузки одноканальной СМО.

– вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявки.

В текущий момент времени в системе может быть 0, 1, 2, ..., k, ... заявок с вероятностями p₀, p₁, p₂, ... .

Математическое ожидание количества заявок:

учитывая, что , получим:

.

Средняя длина очереди равна разности между средним числом заявок в системе и средним числом заявок, находящихся под обслуживанием:

.

Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 263; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!