Главная страница Случайная лекция Мы поможем в написании ваших работ! Порталы: БиологияВойнаГеографияИнформатикаИскусствоИсторияКультураЛингвистикаМатематикаМедицинаОхрана трудаПолитикаПравоПсихологияРелигияТехникаФизикаФилософияЭкономика Мы поможем в написании ваших работ! |
Задание № 3
В задачах 31-40исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления и построить эскиз графика. Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) Найти область определения функции; 2) Найти производную функции; 3) Найти точки экстремума; 4) Определить промежутки монотонности функции; 5) Найти точки перегиба функции; 6) Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции; 7) Найти значение функции в точках экстремума и перегиба; 8) Построить эскиз графика.
Задания: 31. у=2х3-9х2+12х-5, 32. у=х3-6х2+9х+1 33. у=х3-3х2-9х+10 34. у=х3+3х2-9х-10 35. у=х3+6х2+9х+2 36. у=2х3-3х2-12х+5 37. у=2х3+3х2-12х-8 38. у=2х3+9х2+12х+7 39. у=2х3-15х2+36х-32 40. у=2х3-15х2+24х+4 Решение типового примера:исследовать функциюу=х3+9х2+15х-9 1) Областью определения данной функции является все действительные значения аргумента х, т.е D(y)=R 2) Найдем производную функции y´=3x2+18x+15 3) Найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю. 3x2+18x+15=0, :/3 х2+6х+5=0 D=36-4·5=16; x1= ; x2= Значит функция имеет две критические точки х1=-1, х2=-5. 4) Найдем промежутки монотонности функции, для этого разбиваем область определения критическими точками на интервалы + – + –5 –1 т. max т. min Определим знак производной на каждом интервале: y´(0)=3·02+18·0+15=15>0, значит на интервале (-1;+ ) производная функции положительная, значение функции возрастает. y´(-2)=3·(-2)2+18·(-2)+15=-9<0, на промежутке (-5;-1) производная функции отрицательная, значения функции убывает. y´(-6)=3·(-6)2+18·(-6)+15=30>0, на промежутке (- ;-5) производная функции положительная, значения функции возрастает. Отсюда следует, что х1=-5 – точка максимума (max), х2=-1 – точка минимума (min). 5) Найдем точки перегиба функции, для этого найдем вторую производную функции и приравниваем ее к нулю: y´´=6х+18 6х+18=0 6х=-18 х=-3 – критическая точка. 6) Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Разобьем область определения на интервалы (- ;-3) и (-3;+ )
– + –3 (т. перегиба) Определим знак второй производной на каждом интервале: y´´(0)=6·0+18=18>0; y´´=6·(-4)+18=-6<0. На промежутке (-3;+ ) – функция выпуклая; а на промежутке (- ;-3) – функция вогнутая, значит х=-3 – точка перегиба. 7) Найдем значение функции в точках в точках экстремума и перегиба ymax=y(-5)=((-5)3+9(-5)2+15(-5)-9)=16 ymin=y(-1)=((-1)3+9(-1)2+15(-1)-9)=-16 yперегиба=y(-3)=((-3)3+9(-3)2+15(-3)-9)=0 8) Построим эскиз графика с учетом предыдущих исследований
Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 850; Нарушение авторских прав Мы поможем в написании ваших работ! |