Задание № 3

В задачах 31-40исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления и построить эскиз графика.

Исследование функций рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) Найти область определения функции;

2) Найти производную функции;

3) Найти точки экстремума;

4) Определить промежутки монотонности функции;

5) Найти точки перегиба функции;

6) Определить промежутки выпуклости и вогнутости функции;

7) Найти значение функции в точках экстремума и перегиба;

8) Построить эскиз графика.

Задания:

31. у=2х³-9х²+12х-5,

32. у=х³-6х²+9х+1

33. у=х³-3х²-9х+10

34. у=х³+3х²-9х-10

35. у=х³+6х²+9х+2

36. у=2х³-3х²-12х+5

37. у=2х³+3х²-12х-8

38. у=2х³+9х²+12х+7

39. у=2х³-15х²+36х-32

40. у=2х³-15х²+24х+4

Решение типового примера:исследовать функциюу=х³+9х²+15х-9

1) Областью определения данной функции является все действительные значения аргумента х, т.е D(y)=R

2) Найдем производную функции y^´=3x²+18x+15

3) Найдем точки экстремума, для этого приравняем производную к нулю.

3x²+18x+15=0, :/3 х²+6х+5=0 D=36-4·5=16; x₁= ; x₂=

Значит функция имеет две критические точки х₁=-1, х₂=-5.

4) Найдем промежутки монотонности функции, для этого разбиваем область определения критическими точками на интервалы

+ – +

–5 –1

т. max т. min

Определим знак производной на каждом интервале:

y^´(0)=3·0²+18·0+15=15>0, значит на интервале (-1;+ ) производная функции положительная, значение функции возрастает.

y^´(-2)=3·(-2)²+18·(-2)+15=-9<0, на промежутке (-5;-1) производная функции отрицательная, значения функции убывает.

y^´(-6)=3·(-6)²+18·(-6)+15=30>0, на промежутке (- ;-5) производная функции положительная, значения функции возрастает.

Отсюда следует, что х₁=-5 – точка максимума (max), х₂=-1 – точка минимума (min).

5) Найдем точки перегиба функции, для этого найдем вторую производную функции и приравниваем ее к нулю:

y´´=6х+18 6х+18=0 6х=-18 х=-3 – критическая точка.

6) Определим промежутки выпуклости и вогнутости функции. Разобьем область определения на интервалы (- ;-3) и (-3;+ )

– +

–3 (т. перегиба)

Определим знак второй производной на каждом интервале:

y´´(0)=6·0+18=18>0; y´´=6·(-4)+18=-6<0.

На промежутке (-3;+ ) – функция выпуклая; а на промежутке (- ;-3) – функция вогнутая, значит х=-3 – точка перегиба.

7) Найдем значение функции в точках в точках экстремума и перегиба

y_max=y(-5)=((-5)³+9(-5)²+15(-5)-9)=16

y_min=y(-1)=((-1)³+9(-1)²+15(-1)-9)=-16

y_{перегиба}=y(-3)=((-3)³+9(-3)²+15(-3)-9)=0

8) Построим эскиз графика с учетом предыдущих исследований

Дата добавления: 2015-01-19; просмотров: 850; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!