Теорема Бернулли

Лабораторная работа № 9

Предельные теоремы

Цель работы: статистически пронаблюдать сущность основных предельных теорем.

Содержание:

1. Теорема Бернулли.

2. Закон больших чисел в форме Чебышева.

2.1. Основное утверждение.

2.2. Испытание практически достоверного события.

2.3. Сжатие распределения с ростом числа слагаемых.

3. Усиленный закон больших чисел.

4. Теорема Гливенко - основная теорема статистики.

5. Центральная предельная теорема.

5.1. Содержание теоремы.

5.2. Одинаково распределенные слагаемые.

5.3. Различно распределенные слагаемые.

Теорема Бернулли

Если проводится n независимых испытаний случайного события A, вероятность которого P(A) = p, то относительная частота m/n появления события A ( m - число появлений A) при большом n приближенно равна вероятности p:

.

уточнение: будем писать

при ,

если для любого e>0 и для достаточно больших n соотношение

(1)

выполняется с вероятностью, стремящейся к 1 с ростом n; запишем это так:

при .

В этом состоит теорема Бернулли. Заметим, что теорема не утверждает, что соотношение (1) достоверно, однако, если n достаточно велико, то вероятность его выполнения близка к 1 (например, 0.98 или 0.999), что практическидостоверно. Если собираемся провести эксперимент, состоящий из этого достаточно большого числа n испытаний, то можем быть уверены, что соотношение (1) будет выполнено. Проверим это не абсолютно достоверное утверждение.

Пример. Бросание симметричной монеты.

Вероятность появления герба p=0.5. можно показать (с помощью центральной предельной теоремы), что, например, если n ³ (1.5/e)², то соотношение (1) выполняется с вероятностью 0.997, а если n ³ (1.3/e)², то - с вероятностью 0.99; последняя в данном случае нас вполне устраивает как практическая достоверность. Положим e = 0.1; тогда соотношение

| m / n - 0.5 | < 0.1 (a)

выполняется с вероятностью 0.99 при n 170. если e=0.03, то соотношение

| m / n - 0.5 | < 0.03 (б)

выполняется с вероятностью 0.99 при n 1850. Мы уверены, что, проведя 170 бросаний монеты, получим (а), а, проведя 1850 бросаний, получим (б).

Бросание монеты моделируем генерацией случайной величины a, принимающей значения 1 ("герб") и 0 ("цифра") с вероятностями 1/2. Число появлений "герба" в n испытаниях

,

где a_k- результат k-го испытания.

Задание:

1. сгенерировать n = 1850 значений a с помощью генерации случайных чисел (надо задать закон распределения Бернулли, а вероятность 0,5).

2. вычислить относительную частоту W ₌ µ / n :

3. Вычислить частоту выпадения орла (чисел 1). Надо взять сумму первых 170 элементов массива, разделить на 170 результат записать и убедиться, что | µ/ n - 0.5 | <0.1.

4. повторить вычисления частоты выпадения орла для всего набора данных.

5. результат записать, убедиться, что| µ/n - 0.5 | <0.03.

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 256; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!