Вычисление моментов инерции относительно оси

Прямой расчет момента инерции тела относительно оси сводится к вычислению интеграла

(2.44)

где - расстояние элементарной массы до оси вращения. При этом, естественно, необходимо учитывать симметрию системы.

Вычислим, к примеру, момент инерции шара (в сферических координатах рис. 2.15) относительно произвольной оси, проходящей через его центр (в данном случае относительно оси Oz):

(2.45)

- масса шара, - его объем.

(2.46)

поэтому

(2.47)

(2.48)

Рис. 2.15.

Если считать, что наша Земля - шар с постоянной плотностью массы, то момент инерции Земли относительно центральной оси будет равен

Для сравнения рассчитаем момент инерции молекулы CO₂ относительно оси, проходящей через атом углерода перпендикулярно линии, вдоль которой расположены все три атома (рис. 2.16).

Рис. 2.16.

Основная масса атомов сосредоточена в их ядрах; размеры ядер (~10^-14 м) значительно меньше межядерного расстояния (~10^-10 м), поэтому атомы кислорода можно считать материальными точками, а моментом инерции атома углерода можно пренебречь. При этих условиях где - молярная масса кислорода, - число Авогадро, - межядерное расстояние (см. рис. 2.16). Подставляя числовые значения этих величин, получим

Для плоской фигуры моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей, две из которых лежат в плоскости фигуры, оказываются связанными между собой простым соотношением. Из рис. 2.17 следует, что

(2.49)

откуда

(2.50)

Это соотношение позволяет, например, легко вычислить момент инерции тонкого диска массы и радиуса относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в его плоскости (любая такая ось будет главной): поскольку момент инерции диска относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости диска, а

Рис. 2.17.

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 273; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!