Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Функция непрерывна. Как было показано, разрешимость данной задачи следует из разрешимости интегрального уравнения:

,

которое представим в виде операторного уравнения , . Всякое непрерывное решение интегрального уравнения является непрерывным решением дифференциального уравнения задачи Коши.

Для доказательства существования неподвижной точки оператора (а это в конечном счете означает, что задача Коши имеет хотя бы одно решение) воспользуемся утверждением следствия. Отметим, что из непрерывности функции двух переменных следует вполне непрерывность оператора . Доказательство этого факта проводится с применением теоремы Арцела по той же схеме, что и доказательство вполне непрерывности интегрального оператора. Для доказательства существования неподвижной точки остается обеспечить выполнение неравенства в следствии. Для этого предположим, что функция удовлетворяет неравенству:

,

Имеем

,

Теорема. Пусть выполнены условия:

1. непрерывная функция;
2. выполняется ;
3. ,

следовательно, задача Коши имеет хотя бы одно значение.

Отметим, что в этой теореме, как и в теореме о существовании единственности важное значение имеет произведение длин отрезков на константу , поэтому в теории дифференциальных уравнений для данной задачи, что бы достичь условия существования или единственности регулируют длину промежутка. Такие утверждения называют локальными в отличии от полученных в данной главе глобальных.

Отметим, что теоремы существования и существования единственности остаются, справедливы и при более слабых ограничениях на функцию двух переменных. Например, необязательно непрерывность по переменной .

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 298; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!