Числовые ряды, сходимость, сумма ряда, необходимое условие сходимости (с доказательством)

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

(9.1.1)

где - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, - общим членом ряда.

Ряд (9.1.1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера n: .

Сумма первых n членов ряда (9.1.1) называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через S_n, т.е. .

Рассмотрим частичные суммы

, , ,…

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (9.1.1), то говорят, что ряд сходится. Записывают: .

Если не существует или , то ряд (9.1.1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.Теорема (необходимый признак сходимости): Если ряд сходится, то его общий член u_n стремится к нулю при , .

Доказательство. Пусть ряд сходится и . Тогда и (при и ). Учитывая, что при , получаем:

.

10.Теорема сложения вероятностей (для любых событий, с доказательством).

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения: .

Доказательство. Очевидно: ;

Тогда .

Поскольку события АВ и несовместны, то по аксиоме А₄:

.

События АВ и несовместны, и по аксиоме А₄: .

События , АВ и несовместны, по аксиоме А₄: .

Итак,

Следствие 1: Верно следующее обобщение формулы для трех слагаемых:

Следствие 2: Верно следующее обобщение формулы для n слагаемых: - формула включений и исключений.

Определение. Событие А называется независимым от события В, вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Условная вероятность. Наступление события А может повлиять на вероятность появления события В. Для учета таких случаев вводится понятие условной вероятности события В.

Определение. Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 409; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!