ТЕОРЕМА БЕЗУ

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ

Теорема, заключающаяся в том, что всякий многочлен степени n (n>0):

f(z) = a₀zⁿ + a₁z^n-1 + … + a_n ,
где a₀ / 0, над полем комплексных чисел имеет по крайней мере один корень z₁, так что f(z₁)=0. Из О.Т.А. и из теоремы Безу вытекает, что многочлен f(z) имеет в поле комплексных чисел ровно n корней (с учётом их кратностей). Действительно, согласно теореме Безу f(z) делится на z – z₁ (без остатка), т.е. f(z) = f₁(z)(z – z₁), а отсюда многочлен f₁(z) (n – 1)-й степени по О.Т.А. также имеет корень z₂ и т.д. В конечном счёте мы придём к заключению, что f(z) имеет ровно n корней:

f(z) = a₀(z – z₁)(z – z₂) ... (z – z_n).

О.Т.А. называется так потому, что основное содержание алгебры в XVII-XVIII вв. сводилось к решению уравнений. О.Т.А. была доказана впервые в XVII в. французским математиком Жираром, строгое же доказательство было дано в 1799 г. немецким математиком Гауссом.

ТЕОРЕМА БЕЗУ

Теорема об остатке от деления произвольного многочлена на линейный двучлен. Она формулируется следующим образом: остаток от деления произвольного многочлена f(x) на двучлен x – a равен f(a). Т.Б. названа по имени впервые сформулировавшего и доказавшего её французского математика XVIII в. Безу.

Из Т.Б. вытекают следующие следствия:
1) если многочлен f(x) делится (без остатка) на x – a, то число a является корнем f(x);
2) если число a является корнем многочлена f(x), то f(x) делится (без остатка) на двучлен x – a;
3) если многочлен f(x) имеет по крайней мере один корень, то этот многочлен имеет ровно столько корней, какова степень этого многочлена (при этом учитывается кратность корней).

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 264; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!