Общественные блага в контексте общего равновесия

Простейшая модель общего равновесия рассматривает условия производства общественного блага.

Предпосылки:

· Два блага (или два агрегата благ): частное (Х) и общественное (G).

· Два индивида (две однородных группы индивидов) 1 и 2.

· Производственная функция определяется как T(X,G) = 0.

· Предпочтения индивидов заданы их функциями полезности U_i = U(X,G).

· Уровень благосостояния 1-го индивида задан U₁ =

Кривая производственных возможностей ТТ показывает возможности трансформации общественного блага в частное, то есть наращивание объемов производства одного из них возможно за счет сокращения объемов производства другого блага. Наклон кривой определяется предельной нормой трансформации (MRT).

Если уровень полезности первого индивида зафиксирован (кривая безразличия I₁), то можно рассмотреть распределение частного блага между индивидами в зависимости от количества производства общественного блага. Второму индивиду достается количество, определяемое линией SS.

Парето оптимальное состояние (равновесие) достигается, если кривая SS касается кривой безразличия 2–го потребителя I₂. (точка N).

Положение N и, следовательно, специфические характеристики данного конкретного равновесия определяются следующими обстоятельствами:

- технологическими условиями (кривая производственных возможностей ТТ);

- предпочтениями каждого из индивидов (их карты безразличия);

- распределением (выбор отдельной кривой на карте безразличия 1 индивида).

В точке равновесия наклоны линий SS и кривой безразличия 2–го индивида совпадают. Наклон кривой SS определяется как MRT – MRS₁. Наклон кривой безразличия 2–го индивида определяется предельной нормой замещения MRS₂.

Таким образом, в точке равновесия

MRT = MRS₁ + MRS₂

Распространяя это условие на случай более 2–х индивидов, получим условие Самуэльсона:

QX

T

H

 

D

 

 

I1

 

 

T

A QG

 

QX

 

H N

I2

SS

D QG

 

Таким образом, при оптимальном производстве общественного блага предельная норма трансформации этого блага в частное равна сумме предельных норм замещения двух благ для всех индивидов, участвующих в их потреблении.

Аналитическое обоснование условия Самуэльсона.

Два индивида участвуют в производстве и потреблении одного частного и одного общественного блага, количества которых обозначим соответственно х и g [1]

х₁ – количество частного блага, потребляемое первым индивидом; х₂= (х – х₁), – количество частного блага, потребляемое вторым индивидом.

U₁(x₁, g) – функция полезности первого индивида, U₂(x₂, g) – функция полезности второго индивида, W(U₁, U₂) – функция общественного благосостояния, T(x,g) – функция трансформации. По определению, T(x,g) = 0.

Следует максимизировать значение функции: W[U₁(x₁, g), U₂(x₂, g)] при ограничении: T(x, g) = 0. Функция Лагранжа для данной задачи представляет собой:

Условия первого порядка:

 

 

 

Очевидно, что

 

 

Из (2-1) и (2-2) получаем:

 

 

Перенесем в выражении (2-3) последний член в правую часть и разделим полученное равенство на :

Заменим во втором члене левой части равенства (2-5) на равное ему , а в правой части заменим на равное ему . Тогда:

Или:

 

 

Равенство (2-6) представляет собой не что иное как условие Самуэльсона:

MRS₁ + MRS₂ = MRT.

 

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 380; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!