Формула полной вероятности

Теорема 3. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместных событий В₁ В₂, ..., Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В₁)Р(А|B₁) + Р(В₂)Р(A|В₂) +... + Р(Вn)Р(A|Вп)

(формула полной вероятности).

События В1, В2, ..., Вn принято называть гипотезами.

Доказательство. Событие А может наступить лишь при условии наступления одного из событий В1, В2, … Вп, т.е. A = B1A + + В2А + ... + ВnА, причем ввиду несовместимости событий В1, В2, ..., Вn события B1A, B2A, ..., ВnА также несовместимы. Поэтому на основании теорем сложения и умножения вероятностей имеем

Р(А) = Р(В1А) + Р(В2А) + ... + Р(ВnА) = Р(В₁)Р(А|B₁) + Р(В₂)Р(A|В₂) +... + Р(Вn)Р(A|Вп)

Пример 7. Имеются три одинаковых ящика. В первом находятся две белые мыши и одна серая, во втором — три белые и одна серая, в третьем — две белые и две серые мыши. Какова вероятность того, что из наугад выбранного ящика будет извлечена белая мышь?

Обозначим B1, — выбор первого ящика, В2 — выбор второго ящика, B3 — выбор третьего ящика, А — извлечение белой мыши.

Так как все ящики одинаковы, то Р(В1) = Р(В2) = Р(В3) = 1/3. Если

выбран первый ящик, то P(A|B1) =2/3, P(A|B2) = 3/4, Р(А|B3) = 1/2.

Наконец, по формуле для полной вероятности получаем

P(A) = 1/3 *2/3 + 1/3*3/4 + 1/3*1/2 = 23/36

Пример 8. В санатории 30% пациентов — мужчины (М) и 70% — женщины (Ж). Болезни сердца среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугад выбранный пациент сердечник?

Вероятность Р(M) =0.3, вероятность P(Ж) = 0.7. Обозначив С—начилие заболевания сердца, запишем:

P(C|M) = 2/3, P(C|Ж) =1/3.

Подставляя эти числа в формулу полной вероятности A.14), получим

Р(С) = 0,3 • 2/3 + 0,7 • 1/3 = 0,2 + 0,23 = 0,43.

Пример 9.Два орудия стреляют по самолету. Вероятность попадания первого орудия 0.8, вероятность попадания второго орудия 0.7. Оба орудия стреляют одновременно. Какова вероятность того, что самолет будет сбит. Решить несколькими способами.

Пример 10.Студент выучил на экзамен 55 вопросов из 60 . Экзаменационный билет состоит из 2 вопросов. Какова вероятность вытащить счастливый билет ( оба вопроса знает ), несчастливый билет ( знает только один ответ из двух ).

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 370; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!