Теоремы сложения и умножения

ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТЯХ

1. Теорема сложения вероятностей.Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

(2.1)

Для двух совместных событий А и В теорема сложения имеет вид

(2.2)

т.е. вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения.

В общем случае для n событий А₁, А₂, ..., А_n

2. Теорема умножения вероятностей.Два события А и В называются независимыми, если в условиях данного эксперимента вероятность появления или непоявления одного из них не зависит от появления или непоявления другого. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность появления события А при условии, что произошло событие В, называется условной вероятностью и обозначается Р(А/В).

Теорема. Вероятность произведениядвух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло:

(2.3)

Для независимых событий условные вероятности равны безусловным, поэтому

(2.4)

В общем случае для n случайных событий

.

2.1. В урнe имeeтся 10 красных, 15 синих, 5 бeлых шаров. Из урны наугад извлeкаeтся шар. Найти вeроятность того, что этот шар - красный или бeлый.

¢ Пусть событиe A состоит в том, что из урны извлeчeн красный шар, событиe B - бeлый шар. Найдeм вeроятности этих событий, используя классичeскую модeль: P(A) = 10/30 = 1/3 ; P(B) = 5/30 = 1/6. События A и B нeсовмeстны, поэтому вeроятность их суммы P(A+B) =P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = =1/2. £

2.2. Игральная кость бросаeтся дважды. Событиe A состоит в том, что сумма выпавших очков чeтная; событиe B - пeрвоe выпавшee число нeчeтноe. Найти вeроятность суммы событий A+B.

¢ В данном случае пространство элeмeнтарных событий W содeржит 36 исходов, событию A благоприят­ствуют 18 исходов, поэтому P(A) = = 0,5; событиe B состоит тожe из 18 исходов, eго вeроятность P(B) = 0,5. Произвeдeнию AB благоприятст­вуют 9 исходов, откуда P(AB) = 0,25. Искомая вeроятность можeт быть найдeна по теореме сложения (формула (2.2)):

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,5 + 0,5 - 0,25 = 0,75. £

2.3.Из 25 торговых фирм 2 фирмы специализируются на продаже обуви. Ежемесячно аудиторской проверке подвергаются три фирмы. Найти вероятность того, что в течение месяца будут проверены фирмы, не специализирующиеся на обуви.

¢ Пусть случайные события A₁, A₂, A₃ состоят в том, что первая, вторая и третья проверенные фирмы не специализируются на продаже обуви. Интересующее нас событие В есть произведение трех зависимых событий A₁, A₂ и A₃,причем P(A₁)=23/25, P(A₂/A₁)=22/24, P(A₃/A₁A₂) = 21/23. Тогда по теореме умножения

P(B) = P(A₁) P(A₂/A₁) P(A₃/A₁A₂) = £

2.4.Три оператора независимо друг от друга работают на радиоперехвате. Вероятность обнаружения радиосигнала для первого оператора равна 0,75, для второго - 0,8, для третьего - 0,9. Найти вероятность того, что хотя бы один оператор обнаружит сигнал.

¢ Пусть событие А = {хотя бы один оператор обнаружит сигнал}, тогда противоположное ему событие = {ни один из операторов не обнаружит радиосигнал}. Пусть далее В_k = {k -й оператор обнаружил сигнал}, k = 1,2,3. Тогда а интересующее нас событие В силу независимости событий В_k по теореме умножения получаем:

£

2.5.Пусть случайные события таковы, что Доказать справедливость формул и .

2.6.Показать,что если случайные события А, В и С таковы, что то справедлива следующая формула сложения:

2.7.В урне 30 шаров, из которых 15 белых, 8 черных и 7 красных. Из урны наудачу извлекается один шар. Найти вероятность того, что этот шар белого или красного цвета.

2.8.В туристической группе, насчитывающей 25 человек, 8 человек знают английский язык, 6 человек знают французский, а двое знают оба языка. Найти вероятность того, что турист, случайно оказавшийся на выставке, знает один из этих языков.

2.9.Измерительный прибор может проработать безотказно 800 часов с вероятностью 0,7, а 1200 часов - с вероятностью 0,5. Прибор проработал 800 часов. Найти вероятность того, что он проработает еще 400 часов.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

2.10.Вероятность попасть в самолет при одном выстреле равна 0,4, а вероятность сбить его равна 0,1. Найти вероятность того, что при попадании в самолет он будет сбит.

2.11.Электрическая цепь (рис. 2.1) состоит из элементов, каждый из которых за время Т может отказать с вероятностью 0,1. Определить вероятность разрыва цепи.

2.12.Электрическая цепь (рис. 2.2) состоит из элементов, каждый из которых за время Т может отказать с вероятностью 0,2. Определить вероятность того, что за время Т цепь не будет разомкнута.

2.13.Электрическая цепь состоит из k элементов (рис. 2.3-а,б), для каждого из которых известна вероятность безотказной работы, равная p_k (соответственно q_k = 1 – p_k – вероятность отказа элемента). Найти вероятность безотказной работы всей схемы.

2.14.20 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить только на 35 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из билета и на дополнительный вопрос экзаменатора.

2.15.Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ по крайней мере на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на восемь вопросов из тех сорока, которые могут быть предложены. Какова вероятность сдачи коллоквиума?

2.16.Три лампочки включены в цепь последовательно. Определить вероятность того, что при повышении напряжения в сети выше номинального произойдет разрыв в цепи, если вероятность того, что лампочка перегорит, равна 0,4.

2.17.В урне 16 шаров: 5 белых, 7 черных и 4 красных. Из урны 4 раза вынимают по одному шару, не возвращая шары в урну. Найти вероятность того, что первый шар будет белым, второй - черным, а третий и четвертый будут красными.

2.18.В урне 30 шаров, из них 5 красных, 10 — синих, 14 — зеленых и один белый. Какова вероятность того, что в первый раз будет вынут красный шар, во второй — синий и в третий — зеленый, если известно, что извлеченные шары возвращаются обратно в урну.

2.19.В двух урнах находятся шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых шаров, 11 черных и 8 красных, а во второй соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

2.20.Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров, наудачу и последовательно извлекают по одному шару до появления черного шара. Найти вероятность того, что придется производить четвертое извлечение, если выборка производится: а) с возвращением; б) без возвращения.

2.21.Какова вероятность того, что при одновременном случайном извлечении двух карт из полной колоды в 52 игральные карты обе окажутся бубновой масти.

2.22.Какова вероятность того, что выбранное наудачу изделие окажется первосортным, если известно, что 3% всей продукции составляют нестандартные изделия, а 75% стандартных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта?

2.23.Вероятность того, что лампа останется исправной после 1000 часов работы, равна 0,2. Какова вероятность, что хотя бы одна из трех ламп останется исправной после 1000 часов работы?

2.24.Жюри состоит из трех судей. Первый и второй судьи независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью р = 0,7, а третий судья для принятия решения бросает монету. Окончательное решение жюри принимает по большинству голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное решение?

2.25.Датчик температуры газоанализатора состоит из трех элементов, работающих независимо. Вероятности безотказной работы (за время Т ) для первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что за время Т : а) откажет только один элемент; б) откажут только два элемента; с) откажет хотя бы один элемент.

2.26.Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8 и 0,9. Сборщик ищет деталь сначала в первом, затем во втором и т.д. ящиках. Найти вероятность того, что нужную деталь ему придется искать: а) не более чем в трех ящиках; б) не менее чем в двух ящиках.

2.27.Три орудия производят залп по цели. Вероятности попадания соответственно равны 0,5, 0,4 и 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если для этого достаточно двух попаданий.

2.28.Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, делая по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что один из них получит приз.

2.29.Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее при первом выстреле равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что охотник: а) промахнется все три раза; б) попадет хотя бы один раз; с) попадет два раза.

2.30.Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны 0,8, 0,4 и 0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей.

2.31.Сколько раз нужно бросить пару игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,5, хотя бы один раз появилась сумма очков, равная 12?

2.32.Студент изучает математику, химию и биологию. Он оценивает вероятности получить пятерку по этим курсам как 1/4, 1/3 и 1/2 соответственно. Найти вероятность того, что студент получит: а) только одну пятерку; б) хотя бы одну пятерку; в) пятерку только по химии.

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 863; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!