Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть в некотором эксперименте случайное событие А может появиться лишь с одним из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂, ..., Н_n, составляющих полную группу. Тогда вероятность того, что в результате испытания событие А произойдет, определяется формулой полной вероятности:

(2.5)

Если известно, что в результате испытания событие А произошло, то условная вероятность того, что оно произошло с гипотезой , определяется по формуле Байеса:

, (i = 1,2,..., n). (2.6)

2.33.Имеются две урны: в первой 2 белых и 4 черных шара, во второй 3 белых и 3 черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; шары перемешиваются, затем из второй урны в первую перекладывается один шар. Найти вероятность того, что он будет белым.

2.34.Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,4; для второго — 0,6; для третьего — 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет две пробоины.

2.35.Имеется две партии изделий по 10 и 12 штук, причем в каждой партии два изделия бракованных. Изделие, взятое наудачу из первой партии, положено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.

2.36.В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о составе шаров в урне (по цвету).

2.37.На некоторой фабрике 30% продукции производится машиной A, 25% продукции - машиной B, а остальная продукция производится машиной C. У машины A в брак идет 1% всей производимой ею продукции, а у машины B - 1,2% производимой продукции, у машины C - 2%. Какова вероятность того, что произвольно выбранная единица продукции окажется стандартной?

2.38.В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны извлекли наудачу по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар.

2.39.Радиолокационная станция ведет наблюдение за объектом, который может применять или не применять помехи. Если объект не применяет помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью 0,7; если применяет - с вероятностью 0,4. Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна 0,3 и не зависит от того, как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за 5 циклов обзора.

2.40.Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдут сбои в арифметическом устройстве (АУ), в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоев в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что: а) возникший в машине сбой будет обнаружен; б) сбой произошел в АУ.

2.41.В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, трое подготовлены отлично, 4 - хорошо, 2 - посредственно и 1 плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный на 16, посредственно - на 10, плохо - на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что студент подготовлен хорошо.

2.42.На некоторой фабрике машина A производит 40% продукции, а машина B - 60%. В среднем 9 единиц из 1000 продукции машины A оказывается бракованными, а у машины B - 1 из 250. Некоторая единица продукции, выбранная из дневной продукции, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена на машине A?

2.43.Первое орудие 3-орудийной батареи пристреляно так, что вероятность попадания равна 0,2, остальным двум орудиям соответствует вероятность попадания 0,3. Для поражения цели достаточно одного попадания. Одно орудие произвело два выстрела, в результате чего цель была поражена. Какова вероятность, что стреляло первое орудие?

2.44.Компания по страхованию автолюбителей разделяет водителей по трем классам: класс А (мало рискует), класс В (рискует средне) и класс С (рискует сильно). Компания предполагает, что из всех водителей, застрахованных у нее, 30% принадлежит классу А, 50% - классу В и 20% - классу С. Вероятность того, что в течение года водитель класса А попадет в аварию, равна 0,01; водитель класса В - 0,03; для водителей класса С - 0,1. Мистер Крамер страхует свою машину у этой компании и в течение года попадает в аварию. Какова вероятность того, что он относится к классу А?

2.45.Бросается монета; если она выпадает кверху гербом, мы вынимаем один шар из урны I, в противном случае - из урны II. Урна I содержит 3 красных и 1 белый шар. Урна II содержит 1 красный и 3 белых шара. Мы вынули красный шар. Какова вероятность, что он из урны I?

2.46.Из 18 стрелков 5 попадает в мишень с вероятностью 0,8; 7 с вероятностью 0,7; четыре с 0,6 и двое с 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?

2.47. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о которой можно высказать четыре предположения (гипотезы): По данным статистики В ходе расследования обнаружено, что при запуске произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике рав-

ны Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

2.48. Три стрелка произвели залп, при этом две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

2.49. Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампочки, если вероятности их отказов соответственно равны 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4.

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 768; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!