Доказательство. Обобщим полученные результаты на случай конечного числа событий

Обобщим полученные результаты на случай конечного числа событий .

Определение. События называются независимыми в совокупности, если вероятность любого из этих событий не изменяется в зависимости от наступления других событий в любой их совокупности. В противном случае события называются зависимыми.

Отметим, что

1)из попарной независимости событий (т.е. независимости двух любых событий, взятых из данных) не следует независимость этих событий в совокупности;

2) из независимости событий в совокупности следует попарная независимость этих событий.

С помощью метода математической индукции теорему умножения можно распространить на случай событий.

Теорема 2. Вероятность произведения событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности остальных событий, вычисленные при условии, что все предшествующие события произошли, т.е.

.

Следствие 1. Если события независимы в совокупности, то вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей.

.

Следствие 2. Если события независимы в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий находится по формуле

,

где .

Доказательство.

Рассмотрим понятия зависимости и независимости событий на примере схемы „возвращенных” шаров и схемы „невозвращенных” шаров.

Пример. В урне с шарами находится 4 белых и 3 черных шара. Из урны последовательно извлекаются два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется белым.

Решение.

„Схема возвращенных шаров”.

Вывод. Если испытания проводятся по схеме возвращенных шаров, то события и независимы, так как вероятность события не изменяется в зависимости от того, произошло или не произошло событие в предшествующем испытании

.

„Схема невозвращенных шаров”.

Вывод. Если испытания проводятся по схеме невозвращенных шаров, то событие зависит от события , так как вероятность события изменяется в зависимости от того, произошло или не произошло событие в предшествующем испытании

, .

Пример. На шести одинаковых карточках написаны буквы . Карточки перемешены и лежат буквами вниз. Найти вероятность того, что, извлекая все карточки по одной, получим в порядке их появления, слово .

Решение. Введем обозначения:

событие состоит в том, что появилась буква ;

событие состоит в том, что появилась буква ;

событие состоит в том, что появилась буква ;

событие состоит в том, что появилась буква ;

событие состоит в том, что появилась буква .

Пример. Три стрелка стреляют по мишени независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9; для второго – 0,8 и для третьего – 0,5. Найти вероятность того, что:

а) три стрелка попадут в цель;

б) ни один стрелок не попадет в цель;

в) хотя бы один стрелок попадет в цель.

Запишем условие задачи, введя соответствующие обозначения.

Дано: событие состоит в том, что в цель попадет первый стрелок, ;

событие состоит в том, что в цель попадет второй стрелок, ;

событие состоит в том, что в цель попадет третий стрелок, .

Найти: а) событие – три стрелка попадут в цель, ;

б) событие – ни один стрелок не попадет в цель, ;

в) событие – хотя бы один стрелок попадет в цель, .

Решение. а)

б)

в)

Дата добавления: 2015-06-30; просмотров: 267; Нарушение авторских прав

Мы поможем в написании ваших работ!